2.8 PROPRIETÀ INVARIANTIVA DEI RADICALI

1. (A) Quand’è che due radicali si dicono equivalenti?

[Quando rappresentano uno stesso numero reale. È qualcosa di analogo a quanto abbiamo detto riguardo a due frazioni equivalenti: due frazioni sono equivalenti quando rappresentano lo stesso numero razionale. Esempio 1: $\sqrt{9}$ e $\sqrt[3]{27}$ sono due radicali equivalenti perché rappresentano entrambi lo stesso numero reale: 3. Esempio 2: Anche $\sqrt{2}$ e $\sqrt[5]{32}$ sono equivalenti perché rappresentano lo stesso numero reale: 2.]

2. (A) Che cosa afferma la proprietà invariantiva dei radicali?

[Considerando un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero, otteniamo un radicale equivalente. In simboli: $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}$ per ogni a ≥ 0 e per ogni n, m, p ∈ ℕ − {0} (cioè per ogni n, m, p che sia un numero naturale diverso da 0).]

3. (B) In base alla proprietà invariantiva, che cosa otteniamo se moltiplichiamo l’indice del seguente radicale e l’esponente del suo radicando per 3: $\sqrt{4}$?

[$\sqrt[6]{4^3}$ che, in base alla proprietà invariantiva, è un radicale equivalente a $\sqrt{4}$. Infatti, entrambi i radicali rappresentano il numero reale 2: $\sqrt[6]{4^3}=\sqrt[6]{64}=2$ e $\sqrt{4}$ = 2. Nel moltiplicare l’indice di un radicale e l’esponente del suo radicando per uno stesso numero, dobbiamo ricordarci che, quando non viene indicato, l’indice di un radicale è 2 (si tratta cioè di una radice quadrata), mentre quando non viene indicato, l’esponente sottinteso di un radicale è 1 (nel nostro caso il radicando 4 del radicale $\sqrt{4}$ è elevato a 1).]

4. (B) Che cosa otteniamo se moltiplichiamo l’indice del seguente radicale e l’esponente del suo radicando per 2: $\sqrt[3]{-8}$?

[$\sqrt[6]{{(-8)}^2}$ che (attenzione!) non è equivalente a $\sqrt[3]{-8}$, perché non è stata rispettata la condizione della proprietà invariantiva secondo cui, affinché tale proprietà sia valida, il radicando deve essere positivo o nullo (non negativo come −8). Infatti, $\sqrt[3]{-8}$ = −2, mentre $\sqrt[6]{{(-8)}^2}=\sqrt[6]{64}=2$.]

5. (B) C’è un modo per applicare la proprietà invariantiva ad un radicale con indice dispari e radicando negativo?

[Sì, basta portare il segno − del radicando fuori dalla radice; in questo modo si ottiene un radicale con radicando positivo. Esempio: vogliamo moltiplicare l’indice del seguente radicale e l’esponente del suo radicando per 2: $\sqrt[3]{-8}$. Dobbiamo per prima cosa spostare il segno − fuori dalla radice, ottenendo: $-\sqrt[3]{8}$. Ora possiamo applicare la proprietà invariantiva, ottenendo: $-\sqrt[6]{64}$. Il radicale di partenza e quello che abbiamo ottenuto (con davanti il segno −) sono equivalenti; infatti $\sqrt[3]{-8}$ = −2 e $-\sqrt[6]{64}$ = −2.]