2.9 RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE E CONFRONTO DI RADICALI

1. (A) È possibile trasformare due o più radicali che hanno indice diverso in radicali equivalenti che hanno lo stesso indice?

[Sì, bisogna:

Esempio: trasformiamo i due radicali $\sqrt[3]{5}$ e $\sqrt[4]{3}$ in radicali equivalenti che hanno lo stesso indice. Il m.c.m. dei loro indici è 12. Applicando la proprietà invariantiva al radicale $\sqrt[3]{5}$, abbiamo: $\sqrt[3]{5}=\sqrt[3\cdot 4]{5^4}=\sqrt[12]{20}$. Applicando la proprietà invariantiva al radicale $\sqrt[4]{3}$, abbiamo: $\sqrt[4]{3}=\sqrt[4\cdot 3]{3^3}=\sqrt[12]{27}$. Quindi i due radicali $\sqrt[12]{20}$ e $\sqrt[12]{27}$ sono, rispettivamente, equivalenti a $\sqrt[3]{5}$ e $\sqrt[4]{3}$ ma hanno lo stesso indice.]

2. (B) Quali sono i radicali equivalenti, rispettivamente, a $\sqrt{2}$ e a $\sqrt[5]{3}$, aventi lo stesso indice?

[$\sqrt[10]{32}$ e $\sqrt[10]{9}$. Infatti, il m.c.m. degli indici di $\sqrt{2}$ e $\sqrt[5]{3}$ è 10. Applicando la proprietà invariantiva al radicale $\sqrt{2}$, abbiamo: $\sqrt{2}=\sqrt[2\cdot 5]{2^5}=\sqrt[10]{32}$. Applicando la proprietà invariantiva al radicale $\sqrt[5]{3}$, abbiamo: $\sqrt[5]{3}=\sqrt[5\cdot 2]{3^2}=\sqrt[10]{9}$.]

3. (B) È possibile confrontare due o più radicali che hanno indici diversi?

[Sì, basta ridurli allo stesso indice e confrontare i radicandi: quello che ha il radicando maggiore è il radicale maggiore. Esempio: prendiamo i due radicali con indici diversi $\sqrt[3]{5}$ e $\sqrt[4]{3}$, riduciamoli allo stesso indice. Abbiamo: $\sqrt[3]{5}=\sqrt[3\cdot 4]{5^4}=\sqrt[12]{625}$ e $\sqrt[4]{3}=\sqrt[4\cdot 3]{3^3}=\sqrt[12]{27}$. Abbiamo ottenuto due radicali equivalenti a quelli di partenza e, poiché il radicando 625 è maggiore del radicando 27, il radicale $\sqrt[12]{625}$ è maggiore del radicale $\sqrt[12]{27}$ e quindi $\sqrt[3]{5}$ (che è equivalente a $\sqrt[12]{625}$) è maggiore di $\sqrt[4]{3}$ (che è equivalente a $\sqrt[12]{27}$).]