2.10 SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI

1. SEMPLIFICARE RADICALI

1. (A) Che cosa significa semplificare un radicale?

[Significa ottenere un radicale equivalente dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune. Esempio: vogliamo semplificare il radicale $\sqrt[15]{6^{10}}$ . Dividiamo l’indice (15) e l’esponente (10) per il divisore comune 5: $\sqrt[15 : 5]{6^{10 : 5}}$ . Otteniamo $\sqrt[3]{6^{2}}$ che è equivalente al radicale di partenza $\sqrt[15]{6^{10}}$ ma semplificato.]

2. (B) Il teorema della semplificazione di un radicale in che modo è legato alla proprietà invariantiva dei radicali?

[La proprietà invariantiva dei radicali $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$ , per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, può essere letta anche da destra a sinistra: $\sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , e quello che otteniamo è una semplificazione.]

3. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[6]{7^{4}}$ ?

[ $\sqrt[3]{7^{2}}$ . Il radicale equivalente semplificato lo abbiamo ottenuto dividendo l’indice e l’esponente per 2.]

2. RADICALI IRRIDUCIBILI

4. (A) Quand’è che un radicale si dice irriducibile (non semplificabile)?

[Quando il suo indice e l’esponente del suo radicando, scomposti in fattori primi, sono primi tra loro. Esempio: $\sqrt[3]{7^{2}}$ è irriducibile perché l’indice 3 e l’esponente 2 sono primi tra loro.]

5. (A) Quali sono i passaggi per rendere irriducibile un radicale? [

Scomporre il radicando in fattori primi se possibile;
cercare il MCD tra indice del radicale e esponenti dei fattori del radicando;
dividere l’indice e l’esponente per il loro MCD.]

6. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[12]{25}$ ?

[ $\sqrt[6]{5}$ . I passaggi che abbiamo eseguito sono i seguenti:

abbiamo scomposto il radicando in fattori primi 25 = $5^{2}$ (ottenendo il radicale $\sqrt[12]{5^{2}}$ );
abbiamo trovato il MCD tra l’indice 12 e l’esponente 2 del radicando, che è 2;
abbiamo diviso per il MCD 2 sia l’indice 12 del radicale che l’esponente 2 del radicando: $\sqrt[12 : 2]{5^{2 : 2}} = \sqrt[6]{5}$ .]

3. LA SEMPLIFICAZIONE QUANDO IL RADICANDO È NEGATIVO

7. (A) Com’è la semplificazione di un radicale quando il radicando è negativo? [

Se l’indice è dispari, il radicando del radicale semplificato ha lo stesso segno di quello del radicale di partenza (esempio 1: $\sqrt[15]{{(+ 2)}^{3}} = \sqrt[5]{+ 2}$ ; esempio 2: $\sqrt[15]{{(- 2)}^{3}} = \sqrt[5]{- 2}$ );
se l’indice è pari, il radicando del radicale semplificato ha sempre segno positivo (esempio 3: $\sqrt[16]{{(+ 2)}^{2}} = \sqrt[8]{+ 2}$ ; esempio 4: $\sqrt[16]{{(- 2)}^{2}} = \sqrt[8]{+ 2}$ ). La spiegazione che diamo qui di seguito fa riferimento all’esempio 4 ma vale in generale.]

8. (B) Perché la semplificazione di $\sqrt[16]{{(- 2)}^{2}}$ non è $\sqrt[8]{- 2}$ ?

[Perché $\sqrt[8]{- 2}$ non sarebbe un numero reale (in generale un radicale con indice pari e radicando negativo non esiste); invece il radicando di $\sqrt[16]{{(- 2)}^{2}}$ è maggiore di 0 cioè è positivo (infatti ${(- 2)}^{2}$ è +4).]

9. (B) Una volta appurato che la semplificazione di $\sqrt[16]{{(- 2)}^{2}}$ non può essere $\sqrt[8]{- 2}$ , come si fa a concludere che è $\sqrt[8]{+ 2}$ piuttosto che concludere che la semplificazione in questo caso (come in tutti i casi simili) non è possibile?

[Perché ${(- 2)}^{2} = {(+ 2)}^{2}$ (in entrambi i casi il risultato è +4) e poiché ${(+ 2)}^{2} = {| - 2 |}^{2}$ , abbiamo: $\sqrt[16]{{(- 2)}^{2}} = \sqrt[16]{{(+ 2)}^{2}} = \sqrt[16]{{| - 2 |}^{2}} = \sqrt[8]{| - 2 |} = \sqrt[8]{+ 2}$ .]

10. (B) Com’è la semplificazione di $\sqrt[6]{{(- 2)}^{6}}$ ?

[+2.]

11. (B) Com’è la semplificazione di $\sqrt[7]{{(- 2)}^{7}}$ ?

[−2.]

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