2.11 RADICALI LETTERALI

1. (A) Se in un radicale sono contenute delle espressioni letterali, che cosa deve avere il suo equivalente semplificato? [

2. (A) Qual è la semplificazione di $\sqrt[4]{x^4}$?

[$\sqrt[4]{x^4}=\left|x\right|$.]

3. (B) Perché la semplificazione di $\sqrt[4]{x^4}$ è $\sqrt[4]{x^4}=\left|x\right|$?

[Perché il radicale $\sqrt[4]{x^4}$ esiste per qualunque valore di x, in quanto $x^4$ ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ (come si ricorderà, affinché un radicale esista nell’insieme ℝ dei numeri reali, se il suo indice è pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero, e nel nostro caso lo è sicuramente, perché un numero elevato a un esponente pari è sempre positivo). Quindi x può essere un numero negativo, positivo o nullo (cioè 0), ma $x^4$ è sicuramente o positivo o nullo e non negativo (in accordo con la definizione di radice n–esima, che afferma che, se l’indice del radicale è pari, allora la radice deve essere un numero positivo o nullo).]

4. (A) A che cosa è equivalente $\sqrt{x^2}$?

[È equivalente a $\left|x\right|$.]

5. (A) Qual è la semplificazione di $\sqrt[5]{x^5}$?

[$\sqrt[5]{x^5}=x$.]

6. (B) Perché la semplificazione di $\sqrt[5]{x^5}$ è $\sqrt[5]{x^5}=x$ e non $\sqrt[5]{x^5}=\left|x\right|$?

[Perché, essendo l’indice del radicale da semplificare dispari, il numero equivalente a $\sqrt[5]{x^5}$ ma semplificato (x) ha sempre lo stesso segno di $\sqrt[5]{x^5}$, cioè se $\sqrt[5]{x^5}$ è negativo, è negativo anche x, se $\sqrt[5]{x^5}$ è positivo, è positivo anche x, se $\sqrt[5]{x^5}$ è nullo, è nullo anche x. Esempio: se x è 2, $\sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{2^5}=2$; se x è −2, $\sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{{(-2)}^5}=-2$; se x è 0, $\sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{0^5}=0$.]

7. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[6]{x^4}$ e quali sono le sue condizioni di esistenza e il suo segno?

[$\sqrt[3]{x^2}$; C.E.: ∀ x ∈ ℝ; segno: positivo o nullo, perché $\sqrt[6]{x^4}$, avendo indice pari (6), deve essere positivo o nullo.]

8. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[6]{x^2}$ e quali sono le sue condizioni di esistenza e il suo segno?

[$\sqrt[6]{x^2}=\sqrt[3]{\left|x\right|}$; i due radicali esistono ∀ x ∈ ℝ e sono entrambi positivi o nulli. Il primo radicale, $\sqrt[6]{x^2}$, avendo indice pari (6) e radicando maggiore o uguale a 0 ($x^2$ è sicuramente un numero positivo, sia che x stia per un numero positivo sia che stia per un numero negativo, oppure è 0), deve essere per forza positivo o nullo. Il secondo radicale (scriviamolo momentaneamente così: $\sqrt[3]{\left|x\right|}$), avendo indice dispari (3), in teoria può essere positivo, nullo o negativo, ma, poiché nel nostro caso vogliamo che sia equivalente al primo radicale, dobbiamo escludere che sia negativo; per questo abbiamo espresso il radicando in valore assoluto: $\sqrt[3]{\left|x\right|}$.]

9. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[8]{x^4}$ e quali sono le sue condizioni di esistenza e il suo segno?

[$\sqrt[8]{x^4}=\sqrt{x}$; entrambi i radicali esistono solo se x ≥ 0 e sono positivi o nulli; infatti, in entrambi i casi l’indice del radicale è pari (8 nel primo caso, 2 nel secondo).]

10. (B) Qual è la semplificazione del radicale $\sqrt[9]{x^3}$ e quali sono le sue condizioni di esistenza e il suo segno?

[$\sqrt[9]{x^3}=\sqrt[3]{x}$; entrambi i radicali esistono ∀ x ∈ ℝ e hanno lo stesso segno (quello di x) infatti entrambi i radicali hanno indice dispari e l’esponente del radicando del primo radicale è dispari, quindi il suo segno dipende dal segno di x (di conseguenza anche quello del secondo radicale).]