3.5 EQUAZIONI ESPONENZIALI

1. EQUAZIONI ESPONENZIALI: CARATTERI GENERALI

1. (A) Che cos’è un’equazione esponenziale?

[Un’equazione che contiene almeno una potenza con l’incognita all’esponente. Esempi: $4^x$ = 256; ${12}^x$ = 1728; ${\left(\frac{1}{6}\right)}^x$ = 6; $4^{x+5}$ = 21; ${\left(3^{22}\right)}^x$ − $2^{3x}$ = 0.]

2. (B) Quali delle seguenti equazioni sono equazioni esponenziali: $3^{\sqrt{9}}$ = 27; $7^x$ = 2401; ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ = $\frac{1}{4}$; $x^8$ = 2187x; $2^{\sqrt{9}+2}$ = 32?

[Solo $7^x$ = 2401.]

3. (A) Qual è la forma generale dell’equazione esponenziale detta “equazione esponenziale elementare”?

[$a^x$ = b, con a > 0 e a ≠ 1. In tale equazione $a^x$ è un esponenziale, cioè una potenza con l’incognita all’esponente, mentre b rappresenta un numero reale.]

4. (A) Quante soluzioni ha un’equazione esponenziale elementare del tipo $a^x$ = b, con a > 0 e a ≠ 1?[

5. (A) Da un punto di vista grafico, che cosa significa risolvere l’equazione esponenziale $a^x$ = b?

[Significa verificare se la curva della funzione y = $a^x$ interseca il grafico della retta orizzontale y = b. Ricordiamoci che la funzione y = $a^x$ è rappresentata da una curva crescente se a > 1 e da una curva decrescente se 0 < a < 1.]

6. (B) Perché, se b ≤ 0, l’equazione esponenziale $a^x$ = b non ha nessuna soluzione (è impossibile); mentre, se b > 0, l’equazione ha una e una sola soluzione?

[Se b ≤ 0, l’equazione esponenziale $a^x$ = b non ha nessuna soluzione perché la retta y = b non incontra la curva della funzione y = $a^x$ (sia nel caso in cui a > 1 sia nel caso in cui 0 < a < 1); se b > 0, l’equazione ha una e una sola soluzione, perché la retta y = b incontra la curva della funzione y = $a^x$ in un solo punto. Più precisamente, se b = 0 la retta y = b coincide con l’asse x; se b < 0, la retta y = b è parallela all’asse x e giace nel III e IV quadrante; se b > 0, la retta y = b è parallela all’asse x e giace nel I e II quadrante.]

7. (B) Da un punto di vista algebrico, perché, se b ≤ 0, l’equazione esponenziale elementare $a^x$ = b, con a > 0 e a ≠ 1, non ammette soluzioni?

[Perché una potenza con base positiva (come, per ipotesi, è a) è sempre positiva, mai nulla o negativa.]

8. (B) Da un punto di vista algebrico, perché, se b > 0, l’equazione esponenziale elementare $a^x$ = b, con a > 0 e a ≠ 1, ha una e una sola soluzione?

[Perché la funzione esponenziale y = $a^x$ è una funzione biunivoca.]

2. ESEMPI

9. (C) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $4^x$ = −16?

[Non ha soluzioni (è impossibile), perché una potenza con base positiva (come $4^x$) è sempre positiva, per qualsiasi valore dell’esponente; quindi non può essere equivalente a −16.]

10. (C) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ = 0?

[Non ha soluzioni (è impossibile), perché una potenza con base positiva (come $\frac{1}{3}$) è sempre positiva, per qualsiasi valore dell’esponente; quindi non può essere nulla.]

11. (B) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $2^x$ = 32?

[L’unica soluzione è x = 5, infatti, se sostituiamo 5 a x otteniamo $2^5$ = 32.]

12. (C) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $5^x$ = $\frac{1}{125}$?

[L’unica soluzione è x = −3, infatti, se sostituiamo −3 a x otteniamo $5^{-3}$ = $\frac{1}{125}$. Ricordiamoci che un numero positivo (5) elevato a un numero intero negativo (−3) è uguale al reciproco della base ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$ elevata all’opposto dell’esponente iniziale ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$. Ricordiamo che il reciproco di un numero $\frac{n}{d}$ è il numero $\frac{d}{n}$.]

13. (C) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $7^x$ = 1?

[L’unica soluzione è x = 0, infatti, se sostituiamo 0 a x otteniamo $7^0$ = 1. Ricordiamoci che, tranne nel caso in cui la base di una potenza è nulla, qualunque numero reale elevato a zero è sempre uguale a 1.]