3.6 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

1. (A) Che cos’è una disequazione esponenziale?

[Una disequazione che contiene almeno una potenza con l’incognita all’esponente. Esempi: $3^{x}$ ≥ 9; $14^{x}$ < $8^{4}$ − $5^{x}$ ; ${(\frac{1}{6})}^{x}$ > $\frac{1}{37}$ ; $4^{x + 5}$ ≤ 21.]

2. (A) Una disequazione tra potenze che hanno la stessa base a (esempio: $a^{f}$ < $a^{g}$ ) è equivalente a una disequazione tra gli esponenti di tali potenze (esempio: f < g)?[

Se la base a è maggiore di 1, la disequazione tra le potenze è equivalente a quella tra gli esponenti: se a > 1, allora $a^{f}$ < $a^{g}$ ↔ f < g;
Se la base a è maggiore di 0 e minore di 1, la disequazione tra le potenze è equivalente a una disequazione di verso opposto tra gli esponenti: se 0 < a < 1, allora $a^{f}$ < $a^{g}$ ↔ f > g (è da notare che il segno di diseguaglianza è cambiato da < a >).]

3. (B) La disequazione $7^{4}$ < $7^{2 x}$ è equivalente alla disequazione 4 < 2x?

[Sì, perché la base comune (7) delle due potenze della prima disequazione è maggiore di 1 (7 > 1), quindi la prima disequazione è equivalente alla disequazione tra gli esponenti (4 e 2x).]

4. (B) La disequazione ${(\frac{1}{4})}^{9}$ < ${(\frac{1}{4})}^{2 x}$ è equivalente alla disequazione 9 < 2x?

[No, è equivalente alla disequazione 9 > 2x. Infatti, poiché la base delle potenze della prima disequazione $\frac{1}{4}$ è maggiore di 0 e minore di 1, tale disequazione è equivalente alla disequazione di verso contrario tra gli esponenti. Il valore di x è x < $\frac{9}{2}$ , e si ottiene così:
9 > 2x
−2x > −9
2x < 9
$\frac{2}{2} x$ < $\frac{9}{2}$
x < $\frac{9}{2}$ .]

5. (C) Come si fa a risolvere la disequazione $9^{x}$ > 81?[

Si riducono i due membri a due potenze che hanno la stessa base: ${(3^{2})}^{x}$ > $3^{4}$ → $3^{2 x}$ > $3^{4}$ ;
poiché la base è maggiore di 1, da $3^{2 x}$ > $3^{4}$ segue che 2x > 4 (abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza);
quindi semplificando, si ha: x > $\frac{4}{2}$ → x > 2.]

6. (C) Come si fa a risolvere la disequazione ${(\frac{1}{32})}^{x}$ > $\frac{1}{4}$ ?[

Si riducono i due membri a due potenze che hanno la stessa base: ${(\frac{1}{2})}^{5 x}$ > ${(\frac{1}{2})}^{2}$ ;
poiché la base $\frac{1}{2}$ è minore di 1 e maggiore di 0, da ${(\frac{1}{2})}^{5 x}$ > ${(\frac{1}{2})}^{2}$ segue che 5x < 2 (abbiamo invertito il segno di disuguaglianza);
quindi x < $\frac{2}{5}$ .]

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