4.1 LOGARITMI: CARATTERI GENERALI

1. LOGARITMI: CARATTERI GENERALI

1. (A) Che cos’è il logaritmo in base a di b?

[L’esponente al quale si deve elevare a per ottenere b. Esempio: il logaritmo in base 3 di 9 è 2, perché 2 è l’esponente a cui si deve elevare 3 per ottenere 9.]

2. (A) Come si scrive in simboli “logaritmo in base a di b”?

[${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$. Esempio: “logaritmo in base 4 di 16”, si scrive ${log}_{4}16$.]

3. (A) Come sono chiamati, rispettivamente, la lettera a e la lettera b del logaritmo in base a di b?

[a base; b argomento. Esempio: dato il logaritmo ${log}_{3}9$, 3 rappresenta la base, 9 l’argomento.]

4. (A) Come deve essere la base a del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$, affinché tale logaritmo sia definito?

[Positiva e diversa da 1: a > 0 e a ≠ 1.]

5. (A) Come deve essere l’argomento b del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$, affinché tale logaritmo sia definito?

[Positivo: b > 0.]

6. (B) Perché la base a del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$ deve essere positiva e diversa da 1 (a > 0 e a ≠ 1)?

[Perché il logaritmo ${\log }_{a}b$ non è altro che la soluzione dell’equazione esponenziale $a^x$ = b e, come abbiamo visto nella lezione sugli esponenziali, nell’equazione esponenziale elementare la base a deve essere positiva e diversa da 1. Vediamo meglio perché la base a deve essere diversa da 1. Per definizione, il logaritmo in base a di b è l’esponente x tale per cui $a^x$ = b; quindi, se a = 1 e b ≠ 1, abbiamo qualcosa di impossibile. Infatti, se a = 1, allora $a^x$ = $1^x$ = 1. Quindi, non potrà mai essere uguale ad un numero b ≠ 1 (esempio: non può essere $1^x$ = 5).]

7. (B) Perché l’argomento b del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$ deve essere positiva (b > 0)?

[Perché il logaritmo ${\log }_{a}b$ non è altro che la soluzione dell’equazione esponenziale $a^x$ = b e, come abbiamo visto nella lezione sugli esponenziali, tale equazione ammette una soluzione soltanto se b > 0. Infatti il codominio della funzione esponenziale è costituito da tutti i numeri reali positivi.]

8. (A) A quale domanda bisogna rispondere per calcolare il logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$?

[Alla domanda: “A quale esponente bisogna elevare a per ottenere b?”. Esempio: per calcolare il logaritmo ${log}_{3}9$, bisogna rispondere alla domanda “A quale esponente bisogna elevare 3 per ottenere 9?”, la risposta è 2, infatti $3^2$ = 9. Quindi ${log}_{3}9$ = 2.]

9. (B) Come si può scrivere l’equazione esponenziale $4^x$ = 16 nei termini di un logaritmo?

[${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟒}}\mathrm{𝟏𝟔}$ = x.]

2. ESEMPI

10. (C) Qual è il valore del logaritmo ${log}_{5}125$?

[${log}_{5}125$ = 3, infatti $5^3$ = 125.]

11. (B) Qual è il valore del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐𝟓}}\mathrm{𝟏}$?

[${log}_{25}1$ = 0, infatti ${25}^0$ = 1. Qualsiasi numero elevato a 0 fa 1, quindi si può generalizzare il caso in esame così: ${log}_{a}1$ = 0 perché $a^0$ = 1.]

12. (B) Qual è il valore del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}\mathrm{𝟓}$?

[${log}_{5}5$ = 1, infatti $5^1$ = 5. Qualsiasi numero a elevato a 1 fa a, quindi si può generalizzare il caso in esame così: ${log}_{a}a$ = 1 perché $a^1$ = a.]

13. (B) Qual è il valore del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟕}}\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟕}}$?

[${log}_7\frac{1}{7}$ = $\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$, infatti $7^{-1}$ = $\frac{1}{7}$. Qualsiasi numero a elevato a $-1$ fa $\frac{1}{a}$, quindi si può generalizzare il caso in esame così: ${log}_a\frac{1}{a}$ = $-1$ perché $a^{-1}$ = $\frac{1}{a}$.]

14. (B) Qual è il valore del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟗}}\mathrm{𝟑}$?

[${log}_{9}3$ = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$, infatti $9^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{9}$ = 3.]

15. (B) Qual è il valore del logaritmo ${\log }_5\sqrt[3]{25}$?

[${log}_5\sqrt[3]{5^2}$ = $\frac{\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝟑}}$, infatti $5^{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt[3]{5^2}$ = $\sqrt[3]{25}$.]

16. (B) Qual è il valore del logaritmo ${\log }_5\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$?

[${log}_5\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ = $\mathbf{-}\frac{\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝟑}}$, infatti $5^{-\frac{2}{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{5^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.]

17. (B) Qual è il valore del logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟒}}\left(\mathbf{-}\mathrm{𝟐}\right)$?

[È un logaritmo non definito (impossibile), infatti non esiste alcuna potenza di 4 che dà come risultato –2, perché tutte le potenze di 4 sono positive. In generale, come abbiamo visto, l’argomento b del logaritmo ${log}_{a}b$, deve essere positivo: b > 0.]

18. (B) Quanto vale ${\mathrm{𝟓}}^{{𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}\mathrm{𝟐𝟓}}$?

[25.]

19. (B) Perché la potenza ${\mathrm{𝟓}}^{{𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}\mathrm{𝟐𝟓}}$ vale 25?

[Perché ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}\mathrm{𝟐𝟓}$ è l’esponente a cui bisogna elevare 5 per ottenere 25, e infatti ${log}_{5}25$ = 2. In sostanza, $5^{{log}_{5}25}$ = 25 perché $5^{{log}_{5}25}$ equivale a $5^2$. Si può generalizzare questo caso così: $a^{{log}_{a}b}$ = b.]

20. (B) Che tipo di numero è il logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟑}}\mathrm{𝟒}$?

[È un numero irrazionale, non esiste infatti una potenza di 3 con esponente razionale che dà come risultato 4. Per calcolarlo occorre usare la calcolatrice.]

21. (A) Due numeri reali positivi sono uguali se i loro logaritmi sono…?

[Se i loro logaritmi rispetto a una stessa base sono uguali e viceversa: x = y ↔︎ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐲$.]

22. (B) Dato il logaritmo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐛$, all’aumentare dell’argomento b (reale positivo) il logaritmo aumenta o diminuisce?[