4.2 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

1. (A) Quante e quali sono le proprietà dei logaritmi?

[Sono tre:

logaritmo di un prodotto;
logaritmo di un quoziente;
logaritmo di una potenza.]

2. (B) Da dove derivano le proprietà dei logaritmi?

[Dalle proprietà delle potenze.]

1. LOGARITMO DI UN PRODOTTO

3. (A) A che cosa è uguale il logaritmo in base a (con a > 0 e a ≠ 1) del prodotto di due numeri positivi b e c: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (𝐛 \cdot 𝐜)$ ?

[È uguale alla somma dei logaritmi dei due fattori: ${log}_{a} (b \cdot c)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ + ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐜$ . Esempio: ${log}_{2} (4 \cdot 8)$ = ${log}_{2} 4$ + ${log}_{2} 8$ .]

1. DIMOSTRAZIONE

4. (B) Quali sono i primi passaggi per dimostrare la proprietà del logaritmo di un prodotto, ovvero l’uguaglianza: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (𝐛 \cdot 𝐜)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ + ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐜$ ?[

Poniamo x = $\log_{a} b$ e y = $\log_{a} c$ ;
quindi, per la definizione di logaritmo, abbiamo: $a^{x}$ = b e $a^{y}$ = c; da cui deriva
$\log_{a} (b \cdot c)$ = $\log_{a} (a^{x} \cdot a^{y})$ (in base alle equazioni del punto (b), abbiamo sostituito b con $a^{x}$ e c con $a^{y}$ ).

Chiariamo meglio il punto (b): se decidiamo di chiamare x il logaritmo

\log_{a} b

, allora, per la definizione di logaritmo, x è l’esponente a cui bisogna elevare a per ottenere b:

a^{x}

= b. Un discorso analogo si può fare per y e

\log_{a} c

5. (B) Una volta stabilito che ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (𝐛 \cdot 𝐜)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (𝐚^{𝐱} \cdot 𝐚^{𝐲})$ , come prosegue la dimostrazione dell’uguaglianza ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (𝐛 \cdot 𝐜)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ + ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐜$ ?[

$\log_{a} (b \cdot c)$ = $\log_{a} (a^{x} \cdot a^{y})$ → $\log_{a} (b \cdot c)$ = $\log_{a} (a^{x + y})$ (per la proprietà delle potenze secondo cui il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti);
$\log_{a} (b \cdot c)$ = $\log_{a} (a^{x + y})$ = x + y (per la definizione di logaritmo; infatti, x + y è l’esponente a cui bisogna elevare la base a per ottenere l’argomento $a^{x + y}$ );
poiché abbiamo posto x = $\log_{a} b$ e y = $\log_{a} c$ e abbiamo dimostrato che $\log_{a} (b \cdot c)$ = x + y, sostituiamo x con $\log_{a} b$ e y con $\log_{a} c$ e otteniamo $\log_{a} (b \cdot c)$ = $\log_{a} b$ + $\log_{a} c$ .]

1.2 ESEMPIO

6. (B) In base alla proprietà del logaritmo di un prodotto, a che cosa è uguale il logaritmo: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} (𝟒 \cdot 𝟑𝟐)$ ?

[ ${log}_{2} (4 \cdot 32)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟒$ + ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟑𝟐$ , cioè è uguale alla somma dei logaritmi dei due fattori.]

7. (C) Come si fa a verificare la seguente uguaglianza: ${log}_{2} (4 \cdot 32)$ = ${log}_{2} 4$ + ${log}_{2} 32$ ?

[Svolgiamo delle operazioni, separatamente, al primo e al secondo membro, poi confrontiamo i risultati finali: poiché il risultato finale (7) delle operazioni compiute sul primo membro è uguale a quello delle operazioni sul secondo membro, l’uguaglianza è vera.]

8. (C) Quali operazioni dobbiamo compiere sul primo membro dell’uguaglianza ${log}_{2} (4 \cdot 32)$ = ${log}_{2} 4$ + ${log}_{2} 32$ per verificare l’uguaglianza stessa?

[ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} (𝟒 \cdot 𝟑𝟐)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟏𝟐𝟖$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟏𝟐𝟖$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟕}$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟕}$ = 7.
Spiegazione di ogni passaggio:
${log}_{2} (4 \cdot 32)$ = ${log}_{2} 128$ (abbiamo moltiplicato 4 per 32, ottenendo 128)
${log}_{2} 128$ = ${log}_{2} 2^{7}$ (abbiamo ridotto 128 a una potenza di base 2 ed esponente 7)
${log}_{2} 2^{7}$ = 7 (7 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{7}$ e quindi anche di quello di partenza ad esso equivalente: ${log}_{2} (4 \cdot 32)$ ).]

9. (C) Quali operazioni dobbiamo compiere sul secondo membro dell’uguaglianza ${log}_{2} (4 \cdot 32)$ = ${log}_{2} 4$ + ${log}_{2} 32$ per verificare l’uguaglianza stessa?

[ $\log_{2} 4$ + $\log_{2} 32$ = $\log_{2} 2^{2}$ + $\log_{2} 2^{5}$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟐}$ + ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟓}$ = 2 + 5
2 + 5 = 7.
Spiegazione dei passaggi:
${log}_{2} 4$ + ${log}_{2} 32$ = ${log}_{2} 2^{2}$ + ${log}_{2} 2^{5}$ (abbiamo ridotto gli argomenti dei due logaritmi a potenze di 2)
${log}_{2} 2^{2}$ + ${log}_{2} 2^{5}$ = 2 + 5 (2 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{2}$ ; 5 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{5}$ )
2 + 5 = 7.]

2. LOGARITMO DI UN QUOZIENTE

10. (A) A che cosa è uguale il logaritmo in base a (con a > 0 e a ≠ 1) del quoziente di due numeri positivi b e c: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} (\frac{𝐛}{𝐜})$ ?

[È uguale alla differenza dei logaritmi dei due termini: ${log}_{a} (\frac{b}{c})$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛 - {𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐜$ . Esempio: ${log}_{3} (\frac{7}{5})$ = ${log}_{2} 7 - {log}_{2} 5$ .]

1. ESEMPIO

11. (C) In base alla proprietà del logaritmo di un quoziente, a che cosa è uguale il logaritmo: ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ ?

[ ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟑𝟐 - {𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟒$ , cioè è uguale alla differenza dei logaritmi dei due termini.]

12. (C) Come si fa a verificare la seguente uguaglianza: ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ = ${log}_{2} 32$ $- {log}_{2} 4$ ?

[Svolgiamo delle operazioni, separatamente, al primo e al secondo membro, poi confrontiamo i risultati finali: poiché il risultato finale (3) delle operazioni compiute sul primo membro è uguale a quello delle operazioni sul secondo membro, l’uguaglianza è vera.]

13. (C) Quali operazioni dobbiamo compiere sul primo membro dell’uguaglianza ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ = ${log}_{2} 32 - \log_{2} 4$ per verificare l’uguaglianza stessa?

[ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} (\frac{𝟑𝟐}{𝟒})$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟖$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟖$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟑}$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟑}$ = 3.
Spiegazione di ogni passaggio:
${log}_{2} (\frac{32}{4})$ = ${log}_{2} 8$ (abbiamo diviso 32 per 4, ottenendo 8)
${log}_{2} 8$ = ${log}_{2} 2^{3}$ (abbiamo ridotto 8 a una potenza di base 2 ed esponente 3)
${log}_{2} 2^{3}$ = 3 (3 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{3}$ e quindi anche di quello di partenza ad esso equivalente: ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ ).]

14. (C) Quali operazioni dobbiamo compiere sul secondo membro dell’uguaglianza ${log}_{2} (\frac{32}{4})$ = ${log}_{2} 32$ $- {log}_{2} 4$ per verificare l’uguaglianza stessa?

[ $\log_{2} 32$ − $\log_{2} 4$ = $\log_{2} 2^{5}$ − $\log_{2} 2^{2}$
$\log_{2} 2^{5}$ − $\log_{2} 2^{2}$ = 5 − 2
5 – 2 = 3.
Spiegazione dei passaggi:
${log}_{2} 32$ $- {log}_{2} 4$ = ${log}_{2} 2^{5} - {log}_{2} 2^{2}$ (abbiamo ridotto gli argomenti dei due logaritmi a potenze di 2)
${log}_{2} 2^{5} - {log}_{2} 2^{2}$ = 5 – 2 (5 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{5}$ ; 2 è il valore del logaritmo ${log}_{2} 2^{2}$ )
5. – 2 = 3.]

3. LOGARITMO DI UNA POTENZA

15. (A) A che cosa è uguale il logaritmo in base a (con a > 0 e a ≠ 1) della potenza di un numero positivo b elevato a numero reale c: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛^{𝐜}$ ?

[È uguale al prodotto dell’esponente c per il logaritmo del numero positivo b; in simboli: ${log}_{a} b^{c}$ = $𝐜 \cdot {𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ . Esempio: ${log}_{3} 5^{4}$ = $4 \cdot {log}_{3} 5$ .]

3.1 ESEMPIO

16. (B) In base alla proprietà del logaritmo di una potenza, a che cosa è uguale il logaritmo: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} {𝟏𝟔}^{𝟑}$ ?

[ ${log}_{2} 16^{3}$ = $𝟑 \cdot {𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟏𝟔$ , cioè è uguale al prodotto dell’esponente dell’argomento per il logaritmo in base 2 di 16.]

17. (C) Come si fa a verificare la seguente uguaglianza: ${log}_{2} 16^{3}$ = $3 \cdot {log}_{2} 16$ ?

[Svolgiamo delle operazioni, separatamente, al primo e al secondo membro, poi confrontiamo i risultati finali: poiché il risultato finale (12) delle operazioni compiute sul primo membro è uguale a quello delle operazioni sul secondo membro, l’uguaglianza è vera.]

18. (C) Quali operazioni dobbiamo compiere sul primo membro dell’uguaglianza ${log}_{2} 16^{3}$ = $3 \cdot {log}_{2} 16$ per verificare l’uguaglianza stessa?

[ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} {𝟏𝟔}^{𝟑}$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} {(𝟐^{𝟒})}^{𝟑}$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} {(𝟐^{𝟒})}^{𝟑}$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟏𝟐}$
${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟐^{𝟏𝟐}$ = 12.
Spiegazione dei passaggi:
${log}_{2} 16^{3}$ = ${log}_{2} {(2^{4})}^{3}$ (abbiamo ridotto il 16 a una potenza di base 2 ed esponente 4)
${log}_{2} {(2^{4})}^{3}$ = ${log}_{2} 2^{12}$ (abbiamo ottenuto $2^{12}$ da ${(2^{4})}^{3}$ , sulla base della proprietà per cui la potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti)
${log}_{2} 2^{12}$ = 12 (perché 12 è l’esponente che occorre dare alla base 2 del logaritmo ${log}_{2} 2^{12}$ , per ottenere l’argomento $2^{12}$ di tale logaritmo).]

4. LOGARITMO DI UNA RADICE

19. (A) A che cosa è uguale il logaritmo in base a della radice di indice n di b: $\log_{a} \sqrt[n]{b}$ ?

[ ${log}_{a} \sqrt[n]{b}$ = $\frac{𝟏}{𝐧} {𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ . Esempio: ${log}_{2} \sqrt[3]{64}$ = $\frac{1}{3} {log}_{2} 64$ . Consideriamo il secondo membro di questa uguaglianza: l’esponente a cui bisogna elevare 2 per ottenere 64 è 6, quindi abbiamo: $\frac{1}{3} {log}_{2} 64$ = $\frac{1}{3} \cdot 6$ = 2. Pertanto ${log}_{2} \sqrt[3]{64}$ = 2.]

20. (B) Perché $\log_{a} \sqrt[n]{b}$ è uguale a $\frac{1}{n}$ $\log_{a} b$ ?

[Poiché $\sqrt[𝐧]{𝐛} = 𝐛^{\frac{𝟏}{𝐧}}$ , ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} \sqrt[𝐧]{𝐛}$ è equivalente a ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛^{\frac{𝟏}{𝐧}}$ , e quest’ultima è il logaritmo di una potenza tipo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛^{𝐜}$ , per risolvere ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} \sqrt[𝐧]{𝐛}$ bisogna applicare la formula ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛^{𝐜}$ = $𝐜 \cdot {𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ , ottenendo $\frac{𝟏}{𝐧} {𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐛$ .]

21. (C) A che cosa è uguale il logaritmo $\log_{9} \sqrt[4]{7}$ ?

[È uguale a $\frac{𝟏}{𝟒} {𝐥𝐨𝐠}_{𝟗} 𝟕$ .]

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