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4.3 CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI


1. LOGARITMI CON LA CALCOLATRICE

1. (A) Generalmente le calcolatrici quali tipi di logaritmi permettono di calcolare?

[Solo i logaritmi:
  1. in base 10;
  2. e i logaritmi che hanno per base il numero di Nepero.]

2. (A) Qual è il numero di Nepero?

[e = 2,71828… È un numero irrazionale.]

3. (A) Come vengono chiamati, rispettivamente, il logaritmo in base 10 e il logaritmo che ha per base il numero di Nepero?[

  1. Logaritmo decimale;
  2. logaritmo naturale o neperiano.]

4. (A) Quali notazioni si usano per indicare, rispettivamente, il logaritmo decimale e il logaritmo naturale o neperiano?[

  1. log x per il logaritmo decimale
  2. ln x per il logaritmo naturale o neperiano.]

5. (A) Come si fa a calcolare il logaritmo decimale 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝟏𝟑 con la calcolatrice?

[Basta premere il tasto “log” seguito da 13. Otteniamo 1,11394…]

6. (A) Come si fa a calcolare il logaritmo naturale o neperiano 𝐥𝐨𝐠𝐞𝟏𝟑 con la calcolatrice?

[Basta premere il tasto “ln” seguito da 13. Otteniamo 2,56494…]

7. (A) È possibile calcolare con la calcolatrice un logaritmo con base diversa da 10 e dal numero di Nepero, per esempio 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟏𝟑?

[Sì, applicando la formula del cambiamento di base nei logaritmi.]

2. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE

8. (A) Che cos’è la formula del cambiamento di base nei logaritmi?

[È una formula che permette di trasformare un logaritmo in base a in un logaritmo in base c.]

9. (A) Qual è la formula del cambiamento di base nei logaritmi?

[logab = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚.]

10. (B) Come devono essere i numeri rappresentati da a, b, c nella formula del cambiamento di base nei logaritmi: 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚?

[Tutti e tre reali e positivi, e a e c diversi da 1: a ∈ ℝ+, b ∈ ℝ+, c ∈ ℝ+, a ≠ 1, c ≠ 1.]

11. (A) Come si fa a calcolare il logaritmo 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟏𝟑, applicando la formula del cambiamento di base e usando la calcolatrice?[

  1. O si applica la formula del cambiamento di base da 4 a 10: log413 = log13log4 = 1,110,60 = 1,85
  2. oppure si applica la formula del cambiamento di base da 4 a e, il numero di Nepero: log413 = ln13ln4 = 2,561,38 = 1,85.

Come si può vedere, si ottiene lo stesso risultato (1,85), trasformando il logaritmo in base 4 nel quoziente di due logaritmi decimali o nel quoziente di due logaritmi neperiani. Occorre, inoltre, notare che si tratta di numeri irrazionali, di cui abbiamo riportato solo le prime due cifre decimali.]

12. (C) Come si fa a ottenere il logaritmo in base 5 di 12: log512 =?[

  1. O così: log512 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝐥𝐨𝐠𝟓 = 1,070,69 = 1,54
  2. o così: log512 = 𝐥𝐧𝟏𝟐𝐥𝐧𝟓 = 2,481,60 = 1,54.]

3. DIMOSTRAZIONE

13. (B) Quali sono i primi passi della dimostrazione della formula del cambiamento di base nei logaritmi: 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚?[

  1. Dato il logaritmo 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛, se poniamo x = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛, allora 𝐚𝐱 = b (infatti, per la definizione di logaritmo, se x è il logaritmo in base a di b, allora la base a elevata a x è uguale all’argomento b);
  2. calcoliamo il logaritmo in base c di entrambi i membri di ax = b: x ⋅ 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛 (logc(ax) diventa x ⋅ logca per la proprietà del logaritmo di una potenza).

Esempio: per dimostrare che log413 è equivalente a log1013log104: (a) poniamo x = log413, quindi, per la definizione di logaritmo, abbiamo 4x = 13; (b) calcoliamo il logaritmo in base 10 di entrambi i membri di 4x = 13: x ⋅ log104 = log1013.]

14. (B) Una volta che abbiamo ottenuto l’equazione x ⋅ 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛, come dobbiamo procedere per dimostrare la formula del cambiamento di base nei logaritmi?[

  1. Dividiamo entrambi i membri per 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚: x ⋅ logca = logcb → x ⋅ logcalogca = logcblogca → 𝐱 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚,
  2. e poiché abbiamo posto x = logab , allora 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚.

Esempio: riprendiamo l’esempio del logaritmo log413 da dove lo abbiamo lasciato:

x ⋅ log104 = log1013

x ⋅ log104log104 = log1013log104

x = logcblogca, e, poiché abbiamo posto x = log413, segue che log413 = logcblogca.]

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