4.4 FUNZIONE LOGARITMICA

1. FUNZIONE LOGARITMICA: CARATTERI GENERALI

1. (A) Che cos’è una funzione logaritmica?

[Una funzione del tipo y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$. Esempio: y = ${log}_{3}x$.]

2. (A) Come deve essere la a della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[Un numero reale positivo e diverso da 1: a > 0 e a ≠ 1, come la base di qualsiasi logaritmo.]

3. (A) Come deve essere la x della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[Un numero reale positivo: x > 0, come l’argomento di qualsiasi logaritmo. Come si ricorderà, infatti, in un generico ${log}_{a}b$, b è sempre positivo, e la x nella funzione logaritmica sta al posto di b.]

4. (A) La funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ quali tipi di numeri associa?

[Associa ad ogni numero reale positivo x il suo logaritmo in base a con a > 0 e a ≠ 1. Esempio: la funzione y = ${log}_{2}x$ associa a x = $\frac{1}{2}$ il valore –1 (infatti ${log}_2\frac{1}{2}$ è uguale a –1); associa a x = 1 il valore 0 (infatti ${log}_{2}1$ è uguale a 0); associa a x = 2 il valore 1 (infatti ${log}_{2}2$ è uguale a 1)…]

5. (A) Com’è il dominio di una funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[È l’insieme dei numeri reali positivi: ${ℝ}^{+}$. A livello grafico, come vedremo, questo significa che la curva della funzione logaritmica si estende tutta a destra dell’asse y.]

6. (B) Perché il dominio di una funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ è l’insieme dei numeri reali positivi: ${ℝ}^{+}$?

[Perché la x deve essere necessariamente positiva, dato che è l’argomento di un logaritmo e l’argomento di un logaritmo è sempre positivo.]

2. FUNZIONE LOGARITMICA E FUNZIONE ESPONENZIALE

7. (A) Qual è il rapporto della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ con la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$?

[La funzione logaritmica è l’inverso della funzione esponenziale.]

8. (B) In generale, quand’è che una funzione (chiamiamola $f^{-1}$) può essere la funzione inversa della funzione f ?

[Quando f è una funzione biunivoca. (Vedi capitolo “Funzione inversa e funzione composta” della lezione “Funzioni” di Matematica del primo anno delle superiori). Una funzione esponenziale del tipo y = $a^x$ è biunivoca, quindi è invertibile.]

9. (A) In generale, come si fa a ottenere l’inversa di una funzione y = f(x)?

[Basta scambiare x con y: si ottiene l’equazione x = f(y) che è l’inversa di quella di partenza. Nell’equazione y = f(x), la variabile x è la variabile indipendente; la variabile y è la variabile dipendente; invece nell’equazione x = f(y) la variabile indipendente è y e la variabile dipendente è x.]

10. (A) Nel caso dell’equazione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, scambiando x con y, quale equazione si ottiene?

[x = ${𝐚}^{𝐲}$, che è l’equazione inversa della funzione esponenziale y = $a^x$.]

11. (B) Dal fatto che x = ${𝐚}^{𝐲}$ è l’equazione inversa della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ come facciamo a dedurre che la funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ è la funzione inversa della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$?

[Lo deduciamo dal fatto che, per la definizione di logaritmo, x = ${𝐚}^{𝐲}$ è equivalente a y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$; quindi, poiché x = $a^y$ è inversa di y = $a^x$ anche y = ${log}_{a}x$ lo è. Esempio: 9 = $3^2$ è equivalente a 2 = ${log}_{3}9$.]

3. GRAFICO DELLA FUNZIONE LOGARITMICA

12. (A) Com’è il grafico della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[È simmetrico del grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, sia nel caso in cui a > 1 sia nel caso in cui 0 < a < 1.]

E

13. (B) Perché il grafico della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ è simmetrico del grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante?

[Perché la funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale, quindi i punti delle curve delle due funzioni hanno ascissa e ordinata scambiate tra loro. I punti della curva di equazione y = ${log}_{a}x$ hanno per ascissa l’ordinata dei corrispondenti punti della curva di equazione y = $a^x$ e hanno per ordinata l’ascissa dei corrispondenti punti dell’equazione y = $a^x$, e viceversa.]

14. (B) Dove interseca gli assi cartesiani il grafico della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[Sia nel caso in cui a > 1, sia nel caso in cui 0 < a < 1, il grafico interseca solo l’asse x (non l’asse y) e lo interseca nel punto di coordinate (1; 0). Ricordiamoci, infatti, che il grafico della funzione esponenziale y = $a^x$ interseca l’asse y (non l’asse x) nel punto di coordinate (0; 1), sia nel caso in cui a > 1, sia nel caso in cui 0 < a < 1.]

15. (A) Il grafico della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ interseca l’asse y?

[No, man mano che la x assume valori positivi sempre più prossimi a 0, se a > 1 la curva si avvicina al semiasse negativo delle y; invece, se 0 < a < 1, si avvicina al semiasse positivo delle y. In entrambi i casi l’asse y è asintoto verticale della curva.]

16. (A) Come si esprime in simboli il fatto che il grafico della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$, man mano che x assume valori positivi sempre più prossimi a 0, si avvicina al semiasse negativo delle y, se a > 1 e, invece, si avvicina al semiasse positivo delle y, se 0 < a < 1?[

17. (B) Data la funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ con a > 1 e la funzione logaritmica con 0 < a < 1, ovvero y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}}𝐱$, come sono i loro rispettivi grafici l’uno rispetto all’altro?

[Sono simmetrici l’uno dell’altro rispetto all’asse x e si intersecano nel punto di coordinate (1; 0).]

4. PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE LOGARITMICA

18. (A) Qual è il codominio della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[L’insieme ℝ dei numeri reali.]

19. (B) Da che cosa si può dedurre che il codominio della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ è l’insieme ℝ dei numeri reali?

[Dal fatto che la funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale e la funzione esponenziale ha per dominio l’insieme ℝ e per codominio l’insieme ${ℝ}^{+}$: già sappiamo che il dominio della funzione logaritmica è ${ℝ}^{+}$, quindi il suo codominio è ℝ.]

20. (A) Che tipo di funzione è la funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$?

[È una funzione biunivoca strettamente crescente se a > 1 (cioè spostandosi da sinistra a destra va in su), strettamente decrescente se 0 < a < 1 (cioè spostandosi da sinistra a destra va in giù).]

21. (B) Come sono le coordinate della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ con a > 1 rispetto alle coordinate della funzione logaritmica con 0 < a < 1, ovvero y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}}𝐱$?

[Le ordinate dei punti che hanno la stessa ascissa sono opposte, infatti, come abbiamo visto, i grafici di y = ${log}_{a}x$ e di y = ${log}_{\frac{1}{a}}x$ sono simmetrici l’uno dell’altro rispetto all’asse x.]

22. (A) Se due logaritmi aventi la stessa base (a) sono equivalenti, anche i loro argomenti $\left({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{,}{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}\right)$ sono equivalenti?

[Sì, e viceversa, purché ${\mathbf{x}}_1$ e ${\mathbf{x}}_2$ siano reali positivi; in simboli: ${\mathbf{log}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{x}}_1={\mathbf{log}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{x}}_2\leftrightarrow {\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$, per ogni ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$.]