4.5 EQUAZIONI LOGARITMICHE

1. (A) Che cos’è un’equazione logaritmica?

[Un’equazione nella quale l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. Esempio 1: 5 – 2 = ${log}_{2}x$. Esempio 2: ${log}_5(x-1)$ = 3x. Esempio 3: $ln6x$ = 4x + 7. Esempio 4: $logx$ = –3.]

2. (C) Quali delle seguenti equazioni sono equazioni logaritmiche: ${log}_{2}13$ = x – 8; $ln6$ + 2x = 4x + 7; x – 1 = $11$?

[Nessuna, perché nessuna presenta l’incognita nell’argomento del logaritmo.]

1. EQUAZIONI LOGARITMICHE DEL TIPO ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐱$ = b

1.1 IN GENERALE

3. (A) Come si risolve un’equazione logaritmica della forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ = b?

[Basta risolvere l’equazione algebrica x = ${𝐚}^{𝐛}$.]

4. (B) Perché per risolvere un’equazione logaritmica della forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ = b basta risolvere l’equazione algebrica x = ${𝐚}^{𝐛}$?

[Perché, per la definizione di logaritmo, ${log}_{a}x$ = b è equivalente a x = $a^b$. Infatti, in base alla definizione di logaritmo, il logaritmo in base a di x (ovvero ${log}_{a}x$) è l’esponente (b) al quale si deve elevare a per ottenere x.]

2. ESEMPIO

5. (B) Come si fa a risolvere l’equazione logaritmica ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟗}}𝐱$ = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[Basta fare le condizioni di esistenza dell’argomento del logaritmo (x > 0) e risolvere x = ${\mathrm{𝟗}}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$, che è un’equazione algebrica equivalente a quella logaritmica data.]

6. (B) Qual è la soluzione dell’equazione logaritmica ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟗}}𝐱$ = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[3, che è una soluzione accettabile, viste le condizioni di esistenza. Ecco i passaggi:
${log}_{9}x$ = $\frac{1}{2}$
x = $9^{\frac{1}{2}}$
x = $\sqrt{9}$
x = 3.]

7. (B) Dal punto di vista grafico, che cosa rappresenta la soluzione 3 dell’equazione logaritmica ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟗}}𝐱$ = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[L’ascissa del punto di intersezione tra la curva della funzione logaritmica y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟗}}𝐱$ e la retta di equazione y = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$.]

2. EQUAZIONI LOGARITMICHE DEL TIPO ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ = ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$

1. IN GENERALE

8. (B) Come si fa a risolvere un’equazione logaritmica della forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$?

2.2 ESEMPIO

9. (B) Come si fa a risolvere l’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)$?

[Poniamo le condizioni di esistenza, imponendo che ciascun logaritmo dell’equazione abbia argomento maggiore di 0: $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill -x+5>0\\ \hfill x-1>0\end{array}$ → $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill -x>-5\\ \hfill x>1\end{array}$ → $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill x<5\\ \hfill x>1\end{array}$ . Ovviamente la condizione di esistenza va posta per i logaritmi con la x, non per $log3$.]

10. (B) Qual è la condizione di esistenza (C.E.) dell’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)$ che si ottiene imponendo che ciascun logaritmo abbia argomento maggiore di 0?

[$\mathrm{𝟏}\mathbf{<}𝐱\mathbf{<}\mathrm{𝟓}$.]

11. (B) Una volta stabilito che la condizione di esistenza dell’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)$ è $\mathrm{𝟏}<x<5$, come si fa a risolvere tale equazione?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto in modo da ottenere un’equazione della forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ = ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$; quello che otteniamo è: $𝐥𝐨𝐠\left[𝐱\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)\right]$ = $𝐥𝐨𝐠\left[\mathrm{𝟑}\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)\mathbf{.}\right]$.]

12. (B) Una volta che abbiamo ridotto l’equazione logaritmica $\log x$ + $\log (-x+5)$ = $\log 3$ + $\log (x-1)$ nella forma $\log \left[x\right(-x+5\left)\right]$ = $\log \left[3\right(x-1\left)\right]$, come dobbiamo procedere?

[Dobbiamo risolvere l’equazione tra gli argomenti dei due logaritmi: $x(-x+5)=3(x-1)$.]

13. (B) In base a cosa per risolvere una equazione tra due logaritmi basta risolvere l’equazione tra i loro argomenti?

[In base al principio secondo cui, se due logaritmi hanno la stessa base (a) e sono equivalenti, anche i loro argomenti sono equivalenti, purché $x_1$ e $x_2$ siano reali positivi; in simboli: ${\log }_a{x}_1={\log }_a{x}_2\leftrightarrow x_1=x_2$, per ogni $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$.]

14. (B) Quali sono le soluzioni dell’equazione $𝐱\mathbf{(}\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟑}\mathbf{(}𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}$?

[x₁ = –1 e x₂ = 3. Ecco i passaggi:
$x(-x+5)=3(x-1)$
$-x^2+5x=3x-3$
$-x^2+5x-3x+3=0$
$x^2-2x-3=0$
$\frac{\mathrm{\Delta }}{4}={\left(\frac{-2}{2}\right)}^2-1\cdot (-3)=1+3=4$
$x=\frac{-\left(\frac{-2}{2}\right)\pm \sqrt{4}}{1}=1\pm 2$
$x_1=1-2=-1$ e $x_2=1+2=3.$]

15. (B) Quali sono le soluzioni dell’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)$?

[x = 3.]

16. (B) per quale motivo l’unica soluzione dell’equazione $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\right)$ è x = 3?

[Perché, confrontando le soluzioni con le condizioni di esistenza ($1<x<5$), la soluzione x = –1 non è accettabile.]

2.3 ESEMPIO

17. (B) Come si fa a risolvere l’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\right)$?

[Poniamo le condizioni di esistenza, imponendo che ciascun logaritmo dell’equazione abbia argomento maggiore di 0: $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill x-5>0\\ \hfill -x+1>0\end{array}$ → $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill x>5\\ \hfill -x>-1\end{array}$ →$\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill x>5\\ \hfill x<1\end{array}$ . Ovviamente la condizione di esistenza va posta per i logaritmi con la x, non per $log3$.]

18. (B) Qual è la condizione di esistenza (C.E.) dell’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\right)$ che si ottiene imponendo che ciascun logaritmo abbia argomento maggiore di 0?

[Non vi sono soluzioni.]

19. (B) Una volta stabilito che la condizione di esistenza dell’equazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠𝐱$ + $𝐥𝐨𝐠\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟓}\right)$ = $𝐥𝐨𝐠\mathrm{𝟑}$ + $𝐥𝐨𝐠\left(\mathbf{-}𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\right)$ è l’insieme vuoto, come si fa a risolvere tale equazione?

[Non occorre proseguire nella risoluzione: l’equazione è impossibile, perché la sua condizione di esistenza è l’insieme vuoto.]