4.6 DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

1. (A) Che cos’è una disequazione logaritmica?

[Una disequazione nella quale l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. Esempio 1: 7 – 2 < ${log}_{3}x$. Esempio 2: ${log}_2(x-3)$ > 4x. Esempio 3: $ln6x$ ≤ 6. Esempio 4: $logx$ ≥ 8 + 2x.]

2. (C) Quali delle seguenti disequazioni sono disequazioni logaritmiche: ${log}_{2}7$ < x – 8; $ln2x$ + 8x ≥ 7; x – 1 ≥ ${log}_{2}7x$?

[$𝐥𝐧\mathrm{𝟐}𝐱$ + 8x ≥ 7; x – 1 ≥ ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}\mathrm{𝟕}𝐱$.]

1. DISEQUAZIONI LOGARITMICHE DEL TIPO ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ < ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$

3. (A) Come si fa a risolvere una disequazione nella forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ < ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$ (o con i segni di disuguaglianza >, ≤, ≥)?

4. (A) Abbiamo detto che per risolvere una disequazione logaritmica del tipo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ < ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$ bisogna risolvere la disequazione tra gli argomenti dei due logaritmi: essa ha lo stesso segno di disuguaglianza della disequazione tra i logaritmi?[

2. DISEQUAZIONI LOGARITMICHE DEL TIPO ${𝐋𝐎𝐆}_{𝐚}𝐱$ < b

5. (A) Come si risolve una disequazione logaritmica del tipo ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱$ < b?

[Bisogna riportarla alla forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ < ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$ e poi risolverla seguendo i passi che abbiamo visto sopra.]

1. ESEMPIO 1

6. (B) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[Determinare le condizioni di esistenza del logaritmo, che sono: C.E. x > 0 (perché l’argomento di un logaritmo deve essere sempre un numero positivo).]

7. (B) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[Ricondurla alla forma: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ ≤ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$.]

8. (B) Come si fa a ricondurre la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$ alla forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ ≤ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$?

[Poiché, per la definizione di logaritmo, $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$ è uguale a ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}{\left(\mathrm{𝟓}\right)}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$, ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$ è equivalente a ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}{\left(\mathrm{𝟓}\right)}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$, che è, appunto, nella forma ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ ≤ ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$.]

9. (B) Una volta che abbiamo ridotto la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$ alla disequazione equivalente ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}{\left(\mathrm{𝟓}\right)}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$, come bisogna procedere?

[Bisogna risolvere la corrispondente disequazione tra gli argomenti: x ≤ ${\left(\mathrm{𝟓}\right)}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$ (il segno ha lo stesso verso della disequazione tra i logaritmi, perché la base dei logaritmi è 5 che è maggiore di 1).]

10. (B) Svolgendo la potenza, come diventa la disequazione x ≤ ${\left(\mathrm{𝟓}\right)}^{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}$?

[x ≤ $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$.]

11. (B) Quale sistema bisogna risolvere per trovare le soluzioni della disequazione iniziale: ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[$\{\begin{array}{c}\hfill 𝐱\mathbf{>}\mathrm{𝟎}\\ \hfill 𝐱\mathbf{\le }\sqrt{\mathrm{𝟓}}\end{array}$, dove x > 0 è la condizione di esistenza del logaritmo, mentre x ≤ $\sqrt{5}$ è la soluzione della disequazione degli argomenti di ${log}_{5}x$ ≤ ${log}_5{\left(5\right)}^{\frac{1}{2}}$ (disequazione equivalente a quella iniziale).]

12. (B) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}\hfill 𝐱\mathbf{>}\mathrm{𝟎}\\ \hfill 𝐱\mathbf{\le }\sqrt{\mathrm{𝟓}}\end{array}$ e quindi della disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[0 < x ≤ $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$.]

13. (B) Come si fa a rappresentare graficamente la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[Si rappresenta il grafico della funzione y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ e il grafico dell’equazione y = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$.]

14. (B) Nel grafico della disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ ≤ $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$, il grafico della funzione y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟓}}𝐱$ è “al di sopra” o “al di sotto” di quello della retta di equazione y = $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}$?

[È “al di sotto” per x < $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$, essendo x₀ = $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$ l’ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta; è “al di sopra” per x > $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$. È bene precisare che x₀ = $\sqrt{\mathrm{𝟓}}$ è anche la soluzione dell’equazione (attenzione: equazione, non disequazione!) ${log}_{5}x$ = $\frac{1}{2}$. Le coordinate del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta sono x₀ = $\sqrt{5}$ e y₀ = $\frac{1}{2}$ (in termini decimali: x₀ = 2,236 e y₀ = 0,5).]

2.2 ESEMPIO 2

15. (C) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3?

[Determinare le condizioni di esistenza del logaritmo, che sono: C.E. x > 0 (perché l’argomento di un logaritmo deve essere sempre un numero positivo).]

16. (C) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3?

[Ricondurla alla forma: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ > ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$.]

17. (C) Come si fa a ricondurre la disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3 alla forma ${log}_{a}A\left(x\right)$ > ${log}_{a}B\left(x\right)$?

[Poiché, per la definizione di logaritmo, 3 è uguale a ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}{\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$, ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}𝐱$ > 3 è equivalente a ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}𝐱$ > ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}{\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$, che è, appunto, nella forma ${log}_{a}A\left(x\right)$ > ${log}_{a}B\left(x\right)$.]

18. (B) Una volta che abbiamo ridotto la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}𝐱$ > 3 alla disequazione equivalente ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}𝐱$ > ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}{\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$, come bisogna procedere?

[Bisogna risolvere la corrispondente disequazione tra gli argomenti: x < ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$ (il segno ha verso opposto rispetto alla disequazione tra i logaritmi, perché la base dei logaritmi è $\frac{1}{2}$ che è maggiore di 0 e minore di 1).]

19. (C) Svolgendo la potenza, come diventa la disequazione x < ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$?

[x < $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟖}}$.]

20. (C) Quale sistema bisogna risolvere per trovare le soluzioni della disequazione iniziale: ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3?

[$\{\begin{array}{c}\hfill 𝐱\mathbf{>}\mathrm{𝟎}\\ \hfill 𝐱\mathbf{<}\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟖}}\end{array}$, dove x > 0 è la condizione di esistenza del logaritmo, x < $\frac{1}{8}$ è la soluzione della disequazione degli argomenti di ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > ${log}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ (disequazione equivalente a quella iniziale).]

21. (C) Quali sono le soluzioni del sistema $\{\begin{array}{c}\hfill x>0\\ \hfill x<\frac{1}{8}\end{array}$ e quindi della disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3?

[0 < x < $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟖}}$.]

22. (C) Come si fa a rappresentare graficamente la disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3?

[Si rappresenta il grafico della funzione y = ${𝐥𝐨𝐠}_{\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}}𝐱$ e il grafico dell’equazione y = 3.]

23. (C) Nella rappresentazione grafica della disequazione ${log}_{\frac{1}{2}}x$ > 3, il grafico della funzione y = ${log}_{\frac{1}{2}}x$ è “al di sopra” o “al di sotto” di quello della retta di equazione y = 3?

[È “al di sopra” per x < $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟖}}$, essendo x₀ = $\frac{1}{8}$ l’ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta, ${log}_{\frac{1}{2}}x$ = 3; “al di sotto” per x > $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟖}}$. È bene precisare che x₀ = $\frac{1}{8}$ è anche la soluzione dell’equazione (attenzione: equazione, non disequazione!). Le coordinate del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta sono x₀ = $\frac{1}{8}$ e y₀ = 3 ($\frac{1}{8}$, in termini decimali, è 0,125).]

2.3 ESEMPIO 3

24. (B) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟒}\right)$ > 3?

[Determinare le condizioni di esistenza del logaritmo, che sono: C.E. x – 4 > 0 (perché l’argomento di un logaritmo deve essere sempre un numero positivo).]

25. (C) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione ${log}_2(x-4)$ > 3?

[Ricondurla alla forma: ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐀\left(𝐱\right)$ > ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐁\left(𝐱\right)$.]

26. (C) Come si fa a ricondurre la disequazione ${log}_2(x-4)$ > 3 alla forma ${log}_{a}A\left(x\right)$ > ${log}_{a}B\left(x\right)$?

[Poiché, per la definizione di logaritmo, 3 è uguale a ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}{\left(\mathrm{𝟐}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$, ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟒}\right)$ > 3 è equivalente a ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}\left(𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟒}\right)$ > ${𝐥𝐨𝐠}_{\mathrm{𝟐}}{\left(\mathrm{𝟐}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$, che è, appunto, nella forma ${log}_{a}A\left(x\right)$ > ${log}_{a}B\left(x\right)$.]

27. (C) Una volta che abbiamo ridotto la disequazione ${log}_2(x-4)$ > 3 alla disequazione equivalente ${log}_2(x-4)$ > ${log}_2{\left(2\right)}^3$, come bisogna procedere?

[Bisogna risolvere la corrispondente disequazione tra gli argomenti: x – 4 > ${\left(\mathrm{𝟐}\right)}^{\mathrm{𝟑}}$ → x – 4 > 8 (il segno ha lo stesso verso di quello della disequazione tra i logaritmi, perché la base dei logaritmi è 2 che è maggiore di 1).]

28. (C) Quale sistema bisogna risolvere per trovare le soluzioni della disequazione iniziale: ${log}_2(x-4)$ > 3?

[$\{\begin{array}{c}\hfill 𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟒}\mathbf{>}\mathrm{𝟎}\\ \hfill 𝐱\mathbf{-}\mathrm{𝟒}\mathbf{>}\mathrm{𝟖}\end{array}$, dove x – 4 > 0 è la condizione di esistenza del logaritmo, x – 4 > 8 è la disequazione degli argomenti di ${log}_2(x-4)$ > ${log}_2{\left(2\right)}^3$ (disequazione equivalente a quella di partenza).]

29. (C) Quali sono le soluzioni del sistema $\{\begin{array}{c}\hfill x-4>0\\ \hfill x-4>8\end{array}$ e quindi della disequazione ${log}_2(x-4)$ > 3?

[x > 12. Vediamo i passaggi:
$\{\begin{array}{c}\hfill x-4>0\\ \hfill x-4>8\end{array}$
$\{\begin{array}{c}\hfill x>4\\ \hfill x>4+8\end{array}$
$\{\begin{array}{c}\hfill x>4\\ \hfill x>12\end{array}$
x > 12.]