4.7 EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLVIBILI MEDIANTE LOGARITMI

1. (B) Le equazioni esponenziali sono risolvibili mediante logaritmi?

[Sì, purché i loro membri siano positivi.]

2. (B) Su che base alcune equazioni esponenziali sono risolvibili mediante logaritmi?

[In base al fatto che due numeri reali positivi sono uguali se lo sono anche i loro logaritmi: ${\mathrm{𝐥𝐨𝐠}}_{𝐚}{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}={\mathrm{𝐥𝐨𝐠}}_{𝐚}{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}\leftrightarrow {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}={𝐱}_{\mathrm{𝟐}}$, per ogni ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}},{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}\in {ℝ}^{+}$.]

1. ESEMPIO 1

3. (B) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3 tramite logaritmi?

[Essendo entrambi i membri dell’equazione positivi, applichiamo a entrambi il logaritmo in base 10 e otteniamo l’equazione equivalente: $\mathrm{𝐥𝐨𝐠}({\mathrm{𝟐}}^{𝐱}\cdot \mathrm{𝟒})=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$. Naturalmente potevamo scegliere anche di applicare il logaritmo neperiano In, avremmo ottenuto l’equazione equivalente: $\ln (2^x\cdot 4)=\ln 3$.]

4. (B) Qual è il secondo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, una volta ottenuta l’equazione $\mathrm{𝐥𝐨𝐠}({\mathrm{𝟐}}^{𝐱}\cdot \mathrm{𝟒})=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto e otteniamo: $\mathrm{𝐥𝐨𝐠}{\mathrm{𝟐}}^{𝐱}+\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$.]

5. (B) Qual è il terzo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, una volta ottenuta l’equazione $\mathrm{𝐥𝐨𝐠}{\mathrm{𝟐}}^{𝐱}+\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza e otteniamo: $𝐱\cdot \mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}+\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$.]

6. (B) Qual è il quarto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, una volta ottenuta l’equazione $𝐱\cdot \mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}+\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}$?

[Trattandosi di un’equazione di primo grado nell’incognita x, portiamo i termini con la x al primo membro e gli altri al secondo membro: $𝐱\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}$.]

7. (B) Qual è il quinto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, una volta ottenuta l’equazione $𝐱\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}=\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}$?

[Risolviamo rispetto a x, dividendo entrambi i membri dell’equazione per $\log 2$: $\frac{𝐱\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}=\frac{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}\to 𝐱=\frac{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}$.]

8. (B) Qual è il sesto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, una volta ottenuta l’equazione x = $\frac{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟒}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un quoziente al numeratore del secondo membro e otteniamo: x = $\frac{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟒}}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}$.]

9. (B) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $2^x$ ⋅ 4 = 3, che si può ottenere dall’equazione equivalente x = $\frac{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟒}}}{\mathrm{𝐥𝐨𝐠}\mathrm{𝟐}}$?

[x ≅ –0,415. Ecco i passaggi:
x = $\frac{\log \frac{3}{4}}{\log 2}$
x = $\frac{-0,125}{0,301}$
x = –0,415.]

2. ESEMPIO 2

10. (C) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5 tramite logaritmi?

[Essendo entrambi i membri dell’equazione positivi, applichiamo a entrambi il logaritmo neperiano e otteniamo l’equazione equivalente: $\mathrm{𝐥𝐧}{\mathrm{𝟐}}^{𝐱+\mathrm{𝟏}}=\mathrm{𝐥𝐧}({\mathrm{𝟒}}^{\mathrm{𝟑}𝐱}\cdot \mathrm{𝟓})$. Naturalmente potevamo scegliere anche di applicare il logaritmo in base 10 e avremmo ottenuto l’equazione equivalente: $\log 2^{x+1}=\log (4^{3x}\cdot 5)$.]

11. (C) Qual è il secondo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione logaritmica $\ln 2^{x+1}=\ln (4^{3x}\cdot 5)$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto al secondo membro e otteniamo: $\mathrm{𝐥𝐧}{\mathrm{𝟐}}^{𝐱+\mathrm{𝟏}}=\mathrm{𝐥𝐧}{\mathrm{𝟒}}^{\mathrm{𝟑}𝐱}+\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟓}$.]

12. (C) Qual è il terzo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione $\ln 2^{x+1}=\ln 4^{3x}+\ln 5$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza e otteniamo: $(𝐱+\mathrm{𝟏})\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}=\mathrm{𝟑}𝐱\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟒}+\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟓}$.]

13. (C) Qual è il quarto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione $(x+1)\ln 2=3x\ln 4+\ln 5$?

[Svolgiamo la moltiplicazione al primo membro e otteniamo: $𝐱\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}+\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}=\mathrm{𝟑}𝐱\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟒}+\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟓}$.]

14. (C) Qual è il quinto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione $x\ln 2+\ln 2=3x\ln 4+\ln 5$?

[Trattandosi di un’equazione di primo grado nell’incognita x, portiamo i termini con la x al primo membro e gli altri al secondo membro: $𝐱\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}-\mathrm{𝟑}𝐱\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟓}-\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}$.]

15. (C) Qual è il sesto passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione $x\ln 2-3x\ln 4=\ln 5-\ln 2$?

[Mettiamo in evidenza la x al primo membro, raccogliendo a fattore comune: $𝐱(\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟒})=\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟓}-\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}$.]

16. (C) Qual è il settimo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione $x(\ln 2-3\ln 4)=\ln 5-\ln 2$?

[Risolviamo rispetto a x, dividendo entrambi i membri dell’equazione per $(\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟐}-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝐥𝐧}\mathrm{𝟒})$: $\frac{x(\ln 2-3\ln 4)}{\ln 2-3\ln 4}=\frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2-3\ln 4}\to x=\frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2-3\ln 4}$.]

17. (C) Qual è l’ottavo passo per risolvere l’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, una volta ottenuta l’equazione x = $\frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2-3\ln 4}$?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un quoziente sia al numeratore che al denominatore del secondo membro e otteniamo: x = $\frac{\mathrm{𝐥𝐧}\frac{\mathrm{𝟓}}{\mathrm{𝟐}}}{\mathrm{𝐥𝐧}\frac{\mathrm{𝟐}}{{\mathrm{𝟒}}^{\mathrm{𝟑}}}}$.]

18. (C) Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale $2^{x+1}$ = $4^{3x}$ ⋅ 5, che si può ottenere dall’equazione equivalente x = $\frac{\mathrm{𝐥𝐧}\frac{\mathrm{𝟓}}{\mathrm{𝟐}}}{\mathrm{𝐥𝐧}\frac{\mathrm{𝟐}}{{\mathrm{𝟒}}^{\mathrm{𝟑}}}}$?

[x ≅ −0,264. Ecco i passaggi:
x = $\frac{\ln \frac{5}{2}}{\ln \frac{2}{4^3}}$
$\frac{0,916}{-3,466}$
x = –0,264.]