4.8 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLVIBILI MEDIANTE LOGARITMI

1. ESEMPIO 1

1. (B) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8 tramite logaritmi?

[Applichiamo a entrambi i membri della disequazione il logaritmo in base 10 e otteniamo la disequazione equivalente: $𝐥𝐨𝐠 (𝟑 \cdot 𝟐^{𝐱}) < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ . Potevamo scegliere di applicare il logaritmo neperiano e avremmo ottenuto: $\ln (3 \cdot 2^{x}) < \ln 8$ , senza che nulla cambiasse nella procedura generale e nel risultato finale.]

2. (B) Perché la disequazione $𝐥𝐨𝐠 (𝟑 \cdot 𝟐^{𝐱}) < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ ha il segno di disuguaglianza uguale a quello della disequazione esponenziale tra i suoi argomenti 3 ⋅ $2^{x}$ < 8?

[Perché la base 10 è maggiore di 1 (e quando la base è maggiore di 1 non si cambia verso al segno).]

3. (B) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, una volta ottenuta la disequazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠 (𝟑 \cdot 𝟐^{𝐱}) < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto al primo membro e otteniamo: $𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐^{𝐱} < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ .]

4. (B) Qual è il terzo passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, una volta ottenuta la disequazione logaritmica $𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐^{𝐱} < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza e otteniamo: $𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐱 𝐥𝐨𝐠 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ .]

5. (B) Qual è il quarto passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, una volta ottenuta la disequazione $𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐱 𝐥𝐨𝐠 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖$ ?

[Portiamo i termini con la x al primo membro e gli altri al secondo membro della disequazione: $𝐱 𝐥𝐨𝐠 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖 - 𝐥𝐨𝐠 𝟑$ .]

6. (B) Qual è il quinto passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, una volta ottenuta la disequazione $𝐱 𝐥𝐨𝐠 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖 - 𝐥𝐨𝐠 𝟑$ ?

[Risolviamo rispetto a x, dividendo entrambi i membri della disequazione per $𝐥𝐨𝐠 𝟐$ : $\frac{x \log 2}{\log 2} < \frac{\log 8 - \log 3}{\log 2} \to x < \frac{𝐥𝐨𝐠 𝟖 - 𝐥𝐨𝐠 𝟑}{𝐥𝐨𝐠 𝟐}$ .]

7. (C) Perché nel dividere entrambi i membri della disequazione $x \log 2 < \log 8 - \log 3$ per $\log 2$ , otteniamo x < $\frac{\log 8 - \log 3}{\log 2}$ senza dover cambiare il verso al segno di disuguaglianza (da < a >)?

[Perché abbiamo diviso entrambi i membri della disequazione $x \log 2 < \log 8 - \log 3$ per un numero positivo: $\log 2$ .]

8. (B) Qual è il sesto passo per risolvere la disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, una volta ottenuta la disequazione x < $\frac{𝐥𝐨𝐠 𝟖 - 𝐥𝐨𝐠 𝟑}{𝐥𝐨𝐠 𝟐}$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un quoziente al numeratore del secondo membro e otteniamo: x < $\frac{𝐥𝐨𝐠 \frac{𝟖}{𝟑}}{𝐥𝐨𝐠 𝟐}$ .]

9. (B) Qual è la soluzione della disequazione esponenziale 3 ⋅ $2^{x}$ < 8, che si può ottenere dalla disequazione equivalente x < $\frac{𝐥𝐨𝐠 \frac{𝟖}{𝟑}}{𝐥𝐨𝐠 𝟐}$ ?

[x < 1,415. Ecco i passaggi:
x < $\frac{\log \frac{8}{3}}{\log 2}$
x < $\frac{0, 426}{0, 301}$
x < 1,415.]

2. ESEMPIO 2

10. (C) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ ?

[Applichiamo a $5^{x + 1}$ la proprietà delle potenze secondo cui il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti (in simboli: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ) e otteniamo: 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x}$ ⋅ 5.]

11. (C) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione equivalente 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x}$ ⋅ 5?

[Semplifichiamo 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x}$ ⋅ 5 e otteniamo: $2^{x} \leq 3 \cdot 5^{x}$ .]

12. (C) Qual è il terzo passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione equivalente $2^{x} \leq 3 \cdot 5^{x}$ ?

[Applichiamo a entrambi i membri della disequazione il logaritmo neperiano e otteniamo la disequazione equivalente: $𝐥𝐧 𝟐^{𝐱} \leq 𝐥𝐧 (𝟑 \cdot 𝟓^{𝐱})$ . Potevamo scegliere di applicare il logaritmo in base 10 e avremmo ottenuto: $\log 2^{x} \leq \log (3 \cdot 5^{x})$ , senza che nulla cambiasse nella procedura generale e nel risultato finale.]

13. (C) Qual è il quarto passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione logaritmica equivalente $\ln 2^{x} \leq \ln (3 \cdot 5^{x})$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto al secondo membro e otteniamo: $𝐥𝐧 𝟐^{𝐱} \leq 𝐥𝐧 𝟑 + 𝐥𝐧 𝟓^{𝐱}$ .]

14. (C) Qual è il quinto passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione logaritmica equivalente $\ln 2^{x} \leq \ln 3 + \ln 5^{x}$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza a $\ln 2^{x}$ e a $\ln 5^{x}$ e otteniamo: $𝐱 𝐥𝐧 𝟐 \leq 𝐥𝐧 𝟑 + 𝐱 𝐥𝐧 𝟓$ .]

15. (C) Qual è il sesto passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione logaritmica equivalente $x \ln 2 \leq \ln 3 + x \ln 5$ ?

[Portiamo i termini con la x al primo membro e gli altri al secondo membro della disequazione: $𝐱 𝐥𝐧 𝟐 - 𝐱 𝐥𝐧 𝟓 \leq 𝐥𝐧 𝟑$ .]

16. (C) Qual è il settimo passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione logaritmica equivalente $x \ln 2 - x \ln 5 \leq \ln 3$ ?

[Mettiamo in evidenza la x al primo membro, raccogliendo a fattore comune: $𝐱 (𝐥𝐧 𝟐 - 𝐥𝐧 𝟓) \leq 𝐥𝐧 𝟑$ .]

17. (C) Qual è l’ottavo passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione logaritmica equivalente $x (\ln 2 - \ln 5) \leq \ln 3$ ?

[Risolviamo rispetto a x, dividendo entrambi i membri della disequazione per $(𝐥𝐧 𝟐 - 𝐥𝐧 𝟓)$ e cambiando il verso del segno di disuguaglianza: $\frac{x (\ln 2 - \ln 5)}{(\ln 2 - \ln 5)} \geq \frac{\ln 3}{(\ln 2 - \ln 5)} \to x \geq \frac{\ln 3}{(\ln 2 - \ln 5)}$ .]

18. (B) Perché nel risolvere la disequazione $𝐱 (𝐥𝐧 𝟐 - 𝐥𝐧 𝟓) \leq 𝐥𝐧 𝟑$ rispetto a x abbiamo cambiato il verso del segno: x ≥ $\frac{𝐥𝐧 𝟑}{(𝐥𝐧 𝟐 - 𝐥𝐧 𝟓)}$ ?

[Perché abbiamo diviso entrambi i membri per un numero negativo: $\ln 2 - \ln 5$ .]

19. (C) Qual è il nono passo per risolvere la disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , una volta ottenuta la disequazione equivalente x ≥ $\frac{\ln 3}{(\ln 2 - \ln 5)}$ ?

[Applichiamo la proprietà del logaritmo di un quoziente al denominatore del secondo membro e otteniamo: x ≥ $\frac{𝐥𝐧 𝟑}{𝐥𝐧 \frac{𝟐}{𝟓}}$ .]

20. (C) Qual è la soluzione della disequazione esponenziale 5 ⋅ $2^{x}$ ≤ 3 ⋅ $5^{x + 1}$ , che si può ottenere dalla disequazione equivalente x ≥ $\frac{\ln 3}{\ln \frac{2}{5}}$ ?

[x ≥ –1,199. Ecco i passaggi:
x ≥ $\frac{\ln 3}{\ln \frac{2}{5}}$
x ≥ $\frac{1, 099}{- 0, 916}$
x ≥ –1,199.]

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