4.2 DISTANZA TRA DUE PUNTI

1. DISTANZA TRA DUE PUNTI CON LA STESSA ORDINATA

1. (A) Indicando con A(x₁, y₁) e B(x₂, y₁) due punti che hanno la stessa ordinata (y₁), qual è la distanza tra due punti?

[È il valore assoluto della differenza tra le ascisse dei due punti: $\overline{AB}=|x_2-x_1|$. Esempio: la distanza tra i punti A(−5, 4) e B(3, 4) è $\overline{AB}=|3-(-5\left)\right|=\left|8\right|=8$.]

2. (B) Perché nel definire la distanza tra due punti del piano cartesiano che hanno la stessa ordinata si fa riferimento al valore assoluto e non a quello relativo?

[Perché, se il minuendo è minore del sottraendo, otteniamo un numero negativo, ma la distanza tra due punti deve essere un numero positivo. Esempio: se i punti sono A(3, 4) e B(−2, 4), applicando la formula (sbagliata) $\overline{AB}=x_2-x_1$, otterremmo $\overline{AB}=-2-3=-5$, invece del risultato corretto: $\overline{AB}=|-2-3|=|-5|=5$.]

2. DISTANZA TRA DUE PUNTI CON LA STESSA ASCISSA

3. (A) Indicando con A(x₁, y₁) e B(x₁, y₂) due punti che hanno la stessa ascissa (x₁), qual è la distanza tra due punti?

[È il valore assoluto della differenza tra le ordinate dei due punti: $\overline{AB}=|y_2-y_1|$. Esempio: la distanza tra i punti A(4, −2) e B(4, 3) è $\overline{AB}=|3-(-2\left)\right|=\left|5\right|=5$. Come nel caso dei due punti con la stessa ordinata, si fa riferimento al valore assoluto e non a quello relativo perché, se il minuendo è minore del sottraendo, otteniamo un numero negativo, ma la distanza tra due punti deve essere un numero positivo.]

3. CASO GENERALE

4. (B) La formula per calcolare la distanza tra due punti A e B del piano cartesiano che non necessariamente hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata, è una formula che applica un certo teorema; di quale teorema si tratta e a che cosa viene applicato?

[Si tratta del teorema di Pitagora e viene applicato a un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa la distanza $\overline{AB}$.]

5. (B) Se i punti di cui vogliamo calcolare la distanza sono A(2, 3) e B(6, 5), come si fa a costruire il triangolo rettangolo a cui va applicato teorema di Pitagora per calcolare proprio tale distanza?

[A partire da A si traccia una parallela all’asse x; a partire da B si traccia una parallela all’asse y; chiamiamo H il punto di incontro tra queste due rette; quello che abbiamo ottenuto è un triangolo rettangolo ABH che ha come ipotenusa AB.]

6. (B) Qual è la formula per calcolare la distanza tra i punti A(2, 3) e B(6, 5)?

[$\overline{AB}=\sqrt{{(6-2)}^2+{(5-3)}^2}$. In sostanza, si applica il teorema di Pitagora al triangolo ABH. Facendo la radice quadrata della somma del quadrato dei cateti di tale triangolo, si ottiene la misura dell’ipotenusa AB.]

7. (A) Considerando i due generici punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), qual è la formula generale per calcolare la distanza $\overline{AB}$?

[$\overline{AB}=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.]