6.4 INTERSEZIONI DELLA PARABOLA CON GLI ASSI CARTESIANI

1. INTERSEZIONE CON L’ASSE X

1. (A) Le soluzioni dell’equazione di secondo grado $a x^{2} + b x + c = 0$ che cosa rappresentano nella parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$ ?

[Le ascisse degli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse x.

Esempio: poiché le soluzioni reali dell’equazione $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ sono −5 e 2, la parabola di funzione $y = x^{2} + 3 x - 10$ ha due punti (chiamiamoli A e B) di intersezione con l’asse delle ascisse: A(−5; 0) e B(2; 0).]

Intersezioni di una parabola con l'asse delle ascisse

2. (A) Consideriamo la parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$ , è possibile stabilire in base al discriminante Δ dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ se e dove tale parabola incontra l’asse x?

[Sì:

se Δ > 0, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte e incontra l’asse delle x in due punti che hanno per ascisse le due soluzioni;
se Δ = 0, l’equazione ha una sola soluzione reale e incontra l’asse delle x in un punto che ha per ascissa la soluzione (la parabola è tangente all’asse x);
se Δ < 0, l’equazione non ha soluzioni reali e non incontra l’asse delle x in alcun punto.]

Parabola che interseca l'asse x in due punti

Parabola tangente all'asse x in un punto

3. (A) Quali sono le ordinate dei punti in cui una parabola incontra l’asse x?

[Sono sempre uguali a zero (y = 0) come lo sono le ordinate di tutti i punti che giacciono sull’asse delle ascisse.]

4. (A) Che cosa sono gli zeri di una funzione di secondo grado $y = a x^{2} + b x + c$ ?

[Le soluzioni dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ e, da un punto di vista grafico, le ascisse degli eventuali punti di intersezione della parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$ con l’asse delle ascisse.]

Zeri di una funzione di secondo grado e intersezioni con l'asse delle ascisse

2. INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

5. (A) Quali sono le coordinate del punto di intersezione P di una parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$ con l’asse delle ordinate?

[P(0; c).]

Intersezione di una parabola con l'asse delle ordinate

6. (B) Perché il punto P in cui una parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$ interseca l’asse delle ordinate è P(0; c)?

[Perché, essendo un punto dell’asse y, la sua ascissa è necessariamente uguale a 0 ( $x = 0$ ) e proprio perché x = 0 l’equazione $y = a x^{2} + b x + c$ diventa $y = c$ (basta sostituire $x^{2}$ e x con 0 per rendersene conto).]

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