8.1 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RISOLUBILI ATTRAVERSO LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

1. (B) Esistono metodi generali per risolvere equazioni superiori al secondo?

[Esistono metodi generali per risolvere equazioni di terzo e di quarto grado; non esistono, invece, metodi generali per risolvere equazioni di grado superiore al quarto.]

2. (A) Come si può risolvere un’equazione del tipo P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio di grado superiore al secondo nell’incognita x?

3. (A) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione di terzo grado 4x³ + 3x² −1x = 0 attraverso la scomposizione in fattori?

[Bisogna scomporre in fattori il polinomio 4x³ + 3x² −1x raccogliendo x: x(4x² + 3x −1); quindi l’equazione di partenza 4x³ + 3x² −1x = 0 è equivalente all’equazione x(4x² + 3x −1) = 0.]

4. (A) Una volta che abbiamo trasformato l’equazione 4x³ + 3x² −1x = 0 nell’equazione x(4x² + 3x −1) = 0, come bisogna procedere?

[Per la legge di annullamento del prodotto da x(4x² + 3x −1) = 0 otteniamo due equazioni: x = 0 e 4x² + 3x −1 = 0; la prima è di primo grado e la seconda di secondo grado.]

5. (A) Una volta che da x(4x² + 3x −1) = 0 abbiamo ottenuto x = 0 e 4x² + 3x −1 = 0, come dobbiamo procedere?

[Dobbiamo risolvere l’equazione 4x² + 3x −1 = 0. L’equazione x = 0 invece è già risolta.]

6. (B) Quali sono, se ci sono, le soluzioni dell’equazione 4x² + 3x −1 = 0?

[$\frac{1}{4}$ e −1. Ecco i passaggi: applichiamo la formula del discriminante Δ = b² − 4ac: Δ = 3² − 4 (4)(−1) → Δ = 9 + 16 → Δ = 25. Essendo il discriminante positivo, possiamo applicare la formula risolutiva $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$: $x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2\left(4\right)}\to x=\frac{-3\pm 5}{8}\to x_1=\frac{-3+5}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ e $x_2=\frac{-3-5}{8}=\frac{-8}{8}=-1$.]

7. (B) In conclusione, quali sono le soluzioni dell’equazione di terzo grado 4x³ + 3x² −1x = 0?

[−1; 0; $\frac{1}{4}$. Attenzione: è da notare che dell’insieme delle soluzioni fa parte anche la soluzione x = 0, che è uno dei fattori in cui è stato scomposta l’equazione di terzo grado in esame.]