8.2 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RISOLUBILI CON LA REGOLA DI RUFFINI

Per la regola di Ruffini si veda il capitolo dedicato a questo argomento della lezione “Polinomi” del corso Algebra I

1. PROCEDURA GENERALE

1. (A) Come si fa a risolvere un’equazione P(x) = 0 di grado superiore al secondo attraverso la regola di Ruffini? [

2. (A) Che cos’è uno zero di un polinomio P(x)?

[È un numero x₁ tale che, sostituito a x, rende vera l’equazione P(x) = 0; per questo motivo permette di risolvere l’equazione stessa. (vedi il capitolo “Funzioni polinomiali e zeri polinomiali” della lezione “Polinomi” di Prima superiore e soprattutto il capitolo “Scomposizione mediante regola e teorema di Ruffini” della lezione “Scomposizione di polinomi” di Algebra I). Esempio: uno zero del polinomio 2x² − x − 15 è 3, infatti se sostituiamo 3 alla x nell’equazione 2x² − x − 15 = 0, l’equazione è verificata come si può vedere da questi passaggi: 2(3)² − 3 − 15 = 0 → 2(9) − 3 − 15 = 0 → 18 − 3 − 15 = 0 → 0 = 0. Un altro zero del polinomio dato è −2,5.]

3. (A) In base al teorema degli zeri razionali di un polinomio, che caratteristiche ha lo zero di un polinomio?

[È una frazione $\frac{N}{D}$, in cui il numeratore N è un divisore del termine noto e il denominatore D è un divisore del primo coefficiente (cioè del coefficiente di grado massimo). Attenzione: non tutti i numeri razionali in cui il numeratore è un divisore del termine noto e il denominatore è un divisore del primo coefficiente di un dato polinomio sono zeri razionali di tale polinomio, ma tutti gli zeri razionali di tale polinomio hanno queste caratteristiche. Esempio: dato il polinomio 2x² − x − 15 (è lo stesso dell’esempio precedente), poiché i divisori del termine noto (15) sono ±1; ±3; ±5; ±15 e i divisori del coefficiente del primo termine (2) sono ±1; ±2, i possibili zeri del polinomio sono $\pm \frac{1}{1}$; $\pm \frac{3}{1}$; $\pm \frac{5}{1}$; $\pm \frac{15}{1}$; $\pm \frac{1}{2}$; $\pm \frac{3}{2}$; $\pm \frac{5}{2}$; $\pm \frac{15}{2}$, ma, come abbiamo visto sopra, gli zeri effettivi sono solo $+\frac{3}{1}$ cioè 3 e $-\frac{5}{2}$ cioè −2,5.]

4. (B) Perché bisogna dividere il polinomio P(x) per il binomio x − x₁, dove x₁ è uno zero del polinomio P(x)?

[Perché, per il teorema di Ruffini, un polinomio P(x) è divisibile per il binomio x − a se e solo se P(a) è uguale a 0. Esempio: il polinomio 2x² − x − 15 è divisibile per x −3 perché 2(3)² − 3 − 15 = 0.]

5. (B) Perché le soluzioni delle equazioni x − x₁ = 0 e Q(x) = 0 sono le soluzioni di P(x) = 0?

[Perché P(x) : (x − x₁) = Q(x), quindi P(x) = (x − x₁) ⋅ Q(x).]

2. ESEMPIO

6. (B) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione di terzo grado 4x³ + 9x² − 3x − 10 = 0 tramite la regola di Ruffini?

[Trovare i possibili zeri razionali del polinomio 4x³ + 9x² − 3x − 10; essi sono quelli che si ottengono sostituendo il numeratore e il denominatore di $\frac{-10}{4}$ con i loro rispettivi divisori, come nella tabella qui sotto, che, semplificando e eliminando quelli che si ripetono, sono: ±1; ±2; ±5; ±10; $\pm \frac{1}{2}$; $\pm \frac{5}{2}$; $\pm \frac{1}{4}$; $\pm \frac{5}{4}$.]

7. (B) Una volta che abbiamo trovato i possibili zeri razionali del polinomio 4x³ + 9x² − 3x − 10 (ovvero i numeri: ±1; ±2; ±5; ±10; $\pm \frac{1}{2}$; $\pm \frac{5}{2}$; $\pm \frac{1}{4}$; $\pm \frac{5}{4}$), come bisogna procedere?

[Proviamo a sostituire il primo di essi, ovvero 1, alla x nell’equazione 4x³ + 9x² − 3x − 10 = 0 e vediamo che l’equazione è verificata: 4(1)³ + 9(1)² − 3(1) − 10 = 0 → 4(1) + 9(1) − 3(1) − 10 = 0 → 4 + 9 − 3 − 10 = 0 → 13 − 13 = 0 → 0 = 0; quindi 1 è uno zero razionale del polinomio.]

8. (B) Avendo scoperto che 1 è uno zero del polinomio 4x³ + 9x² − 3x − 10, come dobbiamo procedere?

[Possiamo dividere il polinomio per x − 1 tramite la regola di Ruffini.]

9. (B) Quale polinomio si ottiene come risultato della divisione di 4x³ + 9x² − 3x − 10 per x − 1?

[4x² + 13x + 10.]

10. (B) Che cosa rappresenta il polinomio 4x² + 13x + 10?

[Uno dei due fattori in cui si può scomporre il polinomio 4x³ + 9x² − 3x − 10, l’altro fattore è x − 1; quindi (4x² + 13x + 10) ⋅ (x − 1) = 4x³ + 9x² − 3x − 10.]

11. (B) Una volta che abbiamo ottenuto il polinomio 4x² + 13x + 10 che è uno dei due fattori in cui il polinomio dell’equazione di partenza si può scomporre, come bisogna procedere?

[Si risolve l’equazione corrispondente (seguendo la normale procedura per le equazioni di secondo grado) e si ottengono le due radici (soluzioni): −2 e $-\frac{5}{4}$. Vediamo i passaggi. Calcoliamo il discriminante: Δ = (13)² − 4(4)(10) = 169 − 160 = 9. Applichiamo la formula risolutiva: $x=\frac{-13\pm \sqrt{9}}{2\left(4\right)}=\frac{-13\pm 3}{8}=x_1=\frac{-16}{8}=-2$ e $x_2=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}$.]

12. (B) In conclusione, quali sono le soluzioni dell’equazione di terzo grado 4x³ + 9x² − 3x − 10 = 0?

[1; −2; $-\frac{5}{4}$, che sono le soluzioni delle due equazioni associate ai polinomi che costituiscono i fattori in cui si scompone il polinomio 4x³ + 9x² − 3x − 10: 1 è la soluzione di (x − 1); −2 e $-\frac{5}{4}$ sono le soluzioni di 4x² + 13x + 10.]