10.7 FUNZIONI POLINOMIALI E ZERI POLINOMIALI
1. FUNZIONE POLINOMIALE
1. (A) Che cos’è una funzione polinomiale?
[È una funzione la cui legge è espressa da un polinomio.]
2. (A) Con quale espressione si indica una funzione polinomiale?
[In generale con y = P(x) (che si legge: “y uguale p di x”); una funzione polinomiale specifica si indica con una lettera maiuscola (in genere la P, ma può essere anche un’altra lettera), seguita dalle variabili scritte tra parentesi tonde, separate da una virgola o da un punto e virgola.
Esempio: la funzione polinomiale del polinomio x3 + x2 −6x −11 è P(x) = x3 + x2 −6x −11 (oppure y = x3 + x2 −6x −11).
Esempio: la funzione polinomiale del polinomio in due incognite 2x + 5y è P(x; y) = 2x + 5y (oppure y = 2x + 5y).]
3. (C) Quali delle seguenti funzioni sono funzioni polinomiali: P(x; y) = 3x + 2y; Q(x) = 3x2; R(x) = 5x − 3x2; S(x; y) = 4x2 − y + 10?
[Tutte tranne Q(x) = 3x2, perché 3x2 non è un polinomio, bensì un monomio. Ovviamente, se si considera un monomio come un caso particolare di polinomio, anche Q(x) = 3x2 è una funzione polinomiale.]
4. (B) A ogni possibile polinomio si può associare una funzione polinomiale?
[Sì.]
5. (C) Data la funzione polinomiale P(x) = x3 + x2 −6x −10, quali valori assume y, se i valori che attribuiamo alla x sono: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3?
[Se x = −3, y = −10; se x = −2, y = −2; x = −1, y = −4; x = 0, y = −10; x = 1, y = −14; x = 2, y = −10; x = 3, y = +8.]
2. ZERI DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE
6. (A) Che cosa sono gli zeri di una funzione polinomiale?
[Sono i valori delle variabili per i quali la funzione polinomiale si annulla; cioè se si danno quei valori alla x (o alle eventuali altre variabili), la funzione polinomiale assume valore 0.
Esempio: la funzione polinomiale P(x) = x2 +2x −3 ha due zeri x = −3 e x = 1; infatti se diamo a x il valore −3, otteniamo: P(−3) = (−3)2 +2(−3) −3 = 9 −6 −3 = 0; se diamo a x il valore 1, otteniamo: P(1) = (1)2 +2(1) −3 = 1 +2 −3 = 0.]
7. (C) Quanti e quali sono gli zeri della funzione polinomiale P(x) = x3 −4x?
[Sono tre: −2; 0; +2. Infatti se diamo a x uno di questi tre valori la funzione assume valore 0: se diamo a x il valore −2, otteniamo: P(−2) = (−2)3 −4(−2) = −8 +8 = 0; se diamo a x il valore 0, otteniamo: P(0) = (0)3 −4(0) = 0 − 0 = 0; se diamo a x il valore +2, otteniamo: P(+2) = (+2)3 −4(+2) = 8 −8 = 0.]
8. (A) Data una funzione polinomiale y = P(x), che cosa sono gli zeri della funzione facendo riferimento al grafico della funzione stessa?
[Sono le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione interseca l’asse x; cioè sono le ascisse dei punti le cui ordinate hanno valore 0 (y = 0). Gli zeri di una funzione sono anche detti “radici”.]
3. PRINCIPIO DI IDENTITÀ DEI POLINOMI
9. (A) In base al principio di identità dei polinomi, quand’è che due polinomi nella variabile x, P e Q, sono uguali?
[Quando, qualunque sia il valore attribuito alla x, il valore delle corrispondenti funzioni polinomiali y = P(x) e y = Q(x) è lo stesso.]
10. (B) Come devono essere i termini di due polinomi, affinché tali polinomi siano uguali?
[Devono essere uguali indipendentemente dall’ordine in cui sono scritti. Infatti, in accordo con quanto affermato nella domanda precedente, se due polinomi sono costituiti dagli stessi termini, sostituendo le variabili con gli stessi valori, le corrispondenti funzioni polinomiali assumono gli stessi valori.
Esempio: i polinomi x2 −2x + 5 e 5 + x2 −2x sono identici.]