10.6 TRIANGOLO DI TARTAGLIA
1. COME COSTRUIRE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA
1. (A) Che cosa rappresenta questa immagine?
[Un triangolo di Tartaglia. Il nome deriva dal soprannome del matematico italiano Nicolò Fontana (1500-57). È anche conosciuto come “triangolo di Pascal”.]
2. (A) Da che numero è contraddistinta la prima riga del triangolo di Tartaglia e poi le successive?
[La prima riga è la riga 0 (attenzione: non la riga 1!), le righe successive seguono l’ordine dei numeri naturali e sono quindi: la 1, la 2, la 3, la 4…]
3. (B) Quante sono le righe del triangolo di Tartaglia?
[Potenzialmente infinite, anche se ovviamente se ne rappresentano solo alcune (di solito sette).]
4. (A) Che sequenze di numeri contengono le prime tre righe del triangolo di Tartaglia?
[La riga 0 contiene solo un 1; la riga 1 contiene due volte il numero 1; la riga 2 e contiene in sequenza questi tre numeri: 1, 2, 1.]
5. (A) Qual è il procedimento per costruire il triangolo di Tartaglia?
[Il primo e l’ultimo numero di ogni riga è sempre 1; gli altri numeri si formano così: consideriamo due numeri consecutivi su una certa riga e, nello spazio compreso tra di essi, ma nella riga successiva, scriviamo la loro somma.
Esempio 1: poiché nella riga 1 abbiamo i numeri 1 e 1, nella riga successiva in mezzo ad essi è scritta la loro somma, cioè 2.
Esempio 2: nella riga 2 i primi due numeri consecutivi sono 1 e 2 e infatti nella riga successiva (riga 3) in uno spazio che è a metà tra l’1 e il 2 della riga 2, abbiamo la loro somma, cioè 3.]
6. (C) Sapendo che la sesta riga del triangolo di Tartaglia è costituita dalla sequenza 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, qual è la sequenza dei numeri della riga 7?
[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. A parte l’1 iniziale e l’1 finale, gli altri numeri sono ottenuti sommando i due numeri consecutivi della riga precedente in mezzo ai quali sta tale somma: 7 deriva da 1 + 6; 21 da 6 + 15; 35 da 15 + 20.]
2. TRIANGOLO DI TARTAGLIA E POTENZA DI UN BINOMIO
7. (A) Su quali tipi di polinomi ci fornisce informazioni il triangolo di Tartaglia?
[Sulle potenze dei binomi della forma (A + B)n e sul loro sviluppo]
8. (A) Quali informazioni sulle potenze dei binomi ci fornisce il triangolo di Tartaglia?
[Il triangolo di Tartaglia ci fornisce i coefficienti dei polinomi che si ottengono dallo sviluppo delle potenze dei binomi: (A + B)n.
Esempio 1: la riga 2 del triangolo di Tartaglia (1-2-1) ci fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (A + B)2, che è A2 + 2AB + B2: il coefficiente (sottinteso) del primo termine (A2) è 1; il coefficiente del secondo termine (2AB) è 2; il coefficiente (sottinteso) del terzo termine (B2) è 1.
Esempio 2: la riga 3 del triangolo di Tartaglia (1-3-3-1) ci fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (A + B)3, che, in effetti, è A3 + 3A2B + 3AB2 + B3: il coefficiente (sottinteso) del primo termine (A3) è 1; il coefficiente del secondo termine (3A2B) è 3; il coefficiente del terzo termine (3AB2) è 3; il coefficiente (sottinteso) del quarto termine (B3) è 1.]
9. (B) Che proprietà ha ciascun polinomio che si ottiene dallo sviluppo della potenza n-esima di un binomio: (A + B)n?
[È un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di A (a partire da quella di grado n) e secondo le potenze crescenti di B (a partire da quella di grado 0), i cui coefficienti sono quelli indicati dalla riga n del triangolo di Tartaglia. Ricordiamo che “polinomio omogeneo” significa che ogni termine del polinomio ha lo stesso grado di ciascun altro termine del polinomio stesso.
Esempio: consideriamo il polinomio che si ottiene dallo sviluppo del binomio (A + B)4. Dobbiamo concentrare la nostra attenzione sulla riga 4 del triangolo di Tartaglia, quella costituita dalla sequenza di numeri: 1, 4, 6, 4, 1. Il primo termine del polinomio che andiamo formando è costituito da A4, infatti il coefficiente sottinteso è 1 e A è elevato a 4, cioè ha lo stesso esponente del binomio in esame. Il secondo termine del polinomio è costituito da 4A3B, infatti il coefficiente è 4 come indicato dal secondo numero della riga 4 del triangolo di Tartaglia, A ha un esponente di un grado inferiore rispetto al termine del polinomio precedente, e B, che nel primo termine del polinomio non compariva (e quindi aveva grado 0), ora compare con l’esponente sottinteso 1. Trattandosi di un polinomio omogeneo, la somma degli esponenti di 4A3B è 4 che corrisponde all’esponente del primo termine (A4).]
10. (C) Osservando il triangolo di Tartaglia, qual è il terzo termine del polinomio che rappresenta lo sviluppo della potenza del binomio (A + B)4?
[È 6A2B2: infatti il triangolo di Tartaglia ci dice che il coefficiente del terzo termine è 6 (per la precisione, è il terzo numero della riga 4 del triangolo di Tartaglia), A ha un esponente di un grado inferiore rispetto al termine precedente, e B ha un esponente di un grado superiore rispetto al termine precedente.]
11. (C) Qual è l’intero sviluppo della potenza del binomio (A + B)4?
[A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 + B4.]
12. (B) Quali informazioni ci dà il numero corrispondente a ciascuna riga del triangolo di Tartaglia?
[Indica l’esponente del binomio e il grado del polinomio che si ottiene dallo sviluppo del binomio.
Esempio 1: la riga 0 si riferisce al binomio con esponente 0 e al grado 0 del corrispondente polinomio.
Esempio 2: la riga 1 si riferisce al binomio con esponente 1 e al grado 1 del corrispondente polinomio.
Esempio 3: la riga 2 si riferisce al binomio con esponente 2 e al grado 2 del corrispondente polinomio…]
13. (B) Ciascuna riga del triangolo di Tartaglia ci dà indicazioni sul numero di coefficienti dei polinomi corrispondenti ai binomi (A + B)n?
[Ogni riga ci dà il grado del binomio, per conoscere il numero di coefficienti del polinomio corrispondente, bisogna aggiungere una unità al grado del binomio.
Esempio 1: il numero di coefficienti di un polinomio che si colloca sulla riga 0 (il cui binomio è di grado 0) è 1.
Esempio 2: il numero di coefficienti di un polinomio che si colloca sulla riga 1 (il cui binomio è di grado 1) è 2.
Esempio 3: il numero di coefficienti di un polinomio che si colloca sulla riga 2 (il cui binomio è di grado 2) è 3… Grazie al triangolo di Tartaglia non è più necessario memorizzare separatamente le formule del quadrato del binomio, del cubo del binomio e delle potenze successive: tutte possono essere ricavate dallo stesso schema.]
