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10.5 PRODOTTI NOTEVOLI


1. (A) Che cosa si intende per prodotti notevoli?

[Sono dei prodotti tra polinomi che possono essere risolti saltando dei passaggi.]

1. PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA

2. (A) A che cosa è uguale il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza: (A + B) (A − B)?

[È uguale a un binomio che ha come termini il quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio: A2 − B2.

Esempio: (3a +4b) (3a −4b) = 9a2 −16b2.]

3. (B) Come si fa a sapere che il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale a un binomio che ha come termini il quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio?

[Basta svolgere il prodotto dei due polinomi nella maniera tradizionale per rendersene conto: si formano due monomi opposti che, essendo opposti, possono essere eliminati e rimane il binomio previsto. In simboli: (a + b) (a − b) = a2 −ab +ab −b2 = a2 −b2.

Esempio: (3x +4y) (3x −4y) = 9x2 −12xy +12xy −16y2 = 9x2 −16y2. I due monomi +12xy e −12xy, essendo opposti, si eliminano a vicenda.]

4. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: (2xy + 3x3) (2xy − 3x3)?

[4x2y2 − 9x6.]

5. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: ( 32x + 45y2 ) ( 32x − 45y2 ) ?

[ 94x2 − 1625y4 .]

6. (B) In termini geometrici, quale rappresentazione ci aiuta a capire perché (A + B) (A − B) = A2 − B2?

Interpretazione geometrica del prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

[L’area del rettangolo che ha i lati che misurano, rispettivamente, A + B e A − B, rappresenta in termini geometrici l’espressione (A + B) (A − B). L’area della figura che si ottiene ritagliando dal quadrato di lato A un quadratino di lato B rappresenta l’espressione A2 − B2. Come si può vedere, l’area della prima figura e l’area della seconda figura si equivalgono.]

2. QUADRATO DI UN BINOMIO

7. (A) A che cosa è uguale il quadrato di un binomio: (A + B)2?

[A un trinomio costituito dal quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine: A2 +2AB +B2.

Esempio: (3x + 5y)2 = 9x2 +30xy + 25y2. Per rendersi conto che il quadrato di un binomio (A + B)2 è uguale A2 +2AB +B2, basta moltiplicare nel modo tradizionale il binomio dato per se stesso: (A + B)2 = (A + B) (A + B) = A2 + AB + AB + B2 = A2 + 2AB + B2.]

8. (A) Qual è il risultato di un quadrato di un binomio, se il secondo termine è negativo: (A − B)2?

[È sempre un trinomio costituito dal quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine, ma il doppio prodotto del primo termine per il secondo è negativo, anziché positivo come nel caso in cui entrambi i termini siano positivi: (A − B)2 = A2 −2AB + B2.

Esempio: (3x −5y)2 = 9x2 −30xy + 25y2.]

9. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: (3x3 − 4)2?

[9x6 −24x3 +16.]

10. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: ( 83x − 14y ) 2 ?

[ 649x2 − 43xy + 116y2 .]

11. (B) Che cosa rappresenta l’espressione (A + B)2, in termini geometrici?

[L’area di un quadrato di lato A + B.]

12. (B) Come si spiega, in termini geometrici, che (A + B)2 è uguale a A2 +2AB +B2?

[Basta mostrare che il quadrato di lato A + B è composto da:
  1. un quadrato di lato A;
  2. due rettangoli di lati A e B;
  3. un quadrato di lato B.]
Interpretazione geometrica del quadrato di un binomio

3. QUADRATO DI UN TRINOMIO

13. (A) A che cosa è uguale il quadrato di un trinomio: (A + B + C)2?

[Alla somma dei quadrati dei tre termini più il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue: A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC.

Esempio: (3x + 5y +2z)2 = 9x2 + 25y2 +4z2 +30xy +12xz +20yz.]

14. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: (4xy − 5z − 3x)2?

[16x2y2 + 25z2 + 9x2 −40xyz − 24x2y +30zx.]

15. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: ( 25x + 32y2 + 16z ) 2 ?

[ 425x2 + 94y4 + 136z2 + 65xy2 + 215xz + 12y2z .]

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

16. (C) Che cosa rappresenta l’espressione (A + B + C)2, in termini geometrici?

[L’area di un quadrato di lato A + B + C.]

17. (C) Come si spiega, in termini geometrici, che (A + B + C)2 è uguale a A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC?

[Con il fatto che il quadrato di lato A + B + C è composto da:
  1. un quadrato di lato A;
  2. un quadrato di lato B;
  3. un quadrato di lato C;
  4. due rettangoli di lati A e B;
  5. due rettangoli di lati A e C;
  6. due rettangoli di lati B e C.]
Interpretazione geometrica del quadrato di un trinomio

4. CUBO DI UN BINOMIO

18. (A) A che cosa è uguale il cubo di un binomio: (A + B)3?

[Alla somma del cubo del primo e del secondo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine: A3 + B3 + 3A2B + 3AB2.

Esempio: (2x + 3y)3 = 8x3 + 27y3 + 36x2y + 54xy2.]

19. (C) Qual è il risultato del seguente prodotto notevole: (3x3 − 4y)3?

[27x9 −64y3 −108x6y +144x3y2.]

20. (C) Che cosa rappresenta l’espressione (A + B)3, in termini geometrici?

[Un cubo di spigolo A + B.]

21. (C) Come si spiega, in termini geometrici, che (A + B)3 è uguale a A3 + B3 + 3A2B + 3AB2?

[Con il fatto che un cubo di spigolo A + B è composto da:
  1. un cubo di spigolo A;
  2. un cubo di spigolo B;
  3. 3 parallelepipedi di volume A × A × B;
  4. 3 parallelepipedi di volume A × B × B.]

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