10.4 MOLTIPLICAZIONI CON POLINOMI

1. MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO

1. (A) Come si ottiene il prodotto di un monomio per un polinomio?

[Moltiplicando il monomio per ogni termine (monomio) del polinomio e poi sommando i prodotti ottenuti. In pratica, si riduce la moltiplicazione di un monomio per un polinomio alla moltiplicazione di un monomio per i monomi che costituiscono il polinomio. In simboli: A ⋅ (B + C − D) = A ⋅ B + A ⋅ C − A ⋅ D.

Esempio: per ottenere il prodotto del monomio −2ab² per il polinomio 3x +a² −4ab, si moltiplica −2ab² per ciascuno dei tre termini del polinomio (3x; +a²; −4ab) e si sommano i prodotti ottenuti: −6ab²x −2a³b² +8a²b³.]

2. (B) Nell’eseguire una moltiplicazione di un monomio per un polinomio, quale proprietà della moltiplicazione si applica?

[La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione [a × (b + c) = a × b + a × c] e rispetto alla sottrazione [a × (b − c) = a × b − a × c.]. Per moltiplicare un monomio per una somma algebrica di monomi (cioè per un polinomio), basta moltiplicare il monomio per ciascuno dei termini del polinomio e addizionare i prodotti ottenuti.]

3. (C) Qual è il prodotto di −2xy ⋅ (x² − 3)?

[−2x³y + 6xy. Per arrivare a questo risultato, abbiamo applicato la proprietà distributiva della moltiplicazione: (−2xy) ⋅ (x²) + (−2xy) ⋅ (−3) e poi abbiamo calcolato i prodotti tra i monomi.]

4. (C) Qual è il prodotto di $\frac{3}{4}{x}^{3}y\cdot (3x-\frac{2}{3}y)$?

[$\frac{9}{4}{x}^{4}y-\frac{1}{2}y$. Per arrivare a questo risultato, abbiamo applicato la proprietà distributiva della moltiplicazione:

$\left(\frac{3}{4}{x}^{3}y\right)\cdot \left(3x\right)+\left(\frac{3}{4}{x}^{3}y\right)\cdot (-\frac{1}{2}y)$, e poi abbiamo calcolato i prodotti tra i monomi.]

2. MOLTIPLICAZIONE DI UN POLINOMIO PER UN POLINOMIO

5. (A) Come si ottiene il prodotto di un polinomio per un polinomio?

[Moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo e addizionando i prodotti ottenuti.

Esempio: (2a −3b) ⋅ (a +2b) = (2a ⋅ a) + (2a ⋅ 2b) + (−3b) ⋅ (a) + (−3b) ⋅ (+2b) = 2a² + 4ab + (−3ab) + (−6b²) = 2a² + 4ab −3ab −6b² = 2a² + ab −6b².]

6. (B) Nell’eseguire una moltiplicazione di un polinomio per un polinomio, quale proprietà della moltiplicazione si applica?

[La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione [a × (b + c) = a × b + a × c] e rispetto alla sottrazione [a × (b − c) = a × b − a × c.], come nel caso della moltiplicazione di un monomio per un polinomio.]

7. (C) Qual è il prodotto di (3xy + 2x) ⋅ (x² − 3y)?

[3x³y − 9xy² + 2x³ − 6xy.]

8. (C) Qual è il prodotto di $(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x)\cdot (1-2x)$?

[$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}{x}^2$. Ecco i passaggi:

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{2}{x}^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}{x}^2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x-x^2+\frac{2}{3}{x}^2$$

$$=\frac{3-2}{6}x+\frac{-3+2}{3}{x}^2=\frac{1}{6}x+\frac{-1}{3}{x}^2=\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}{x}^2$$]