11.5 SCOMPOSIZIONE MEDIANTE IL TEOREMA E LA REGOLA DI RUFFINI

1. SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI CON IL TEOREMA DI RUFFINI

1. (A) Che cosa ha a che vedere il teorema di Ruffini con la scomposizione in fattori di un polinomio?

[Il teorema di Ruffini ci permette di scomporre un polinomio A(x) in un prodotto di due polinomi di cui uno è (x – a) quando a, sostituito a x nel polinomio A(x), rende A(x) uguale a 0, cioè quando A(a) = 0. Vediamo meglio: dati i polinomi A(x) e (x – a), se A(a) = 0, allora il quoziente Q(x) della divisione A(x) : (x – a), moltiplicato per il divisore (x – a), dà come risultato A(x), perché il prodotto del quoziente per il divisore dà sempre il dividendo. In simboli: Q(x) ⋅ (x – a) = A(x).

Esempio: il polinomio 2x² – 6x + 4 (chiamiamolo P(x)) può essere scomposto in fattori mediante il teorema e la regola di Ruffini, mentre non potrebbe essere scomposto in fattori mediante gli altri metodi finora analizzati (raccoglimento a fattore comune, raccoglimento parziale…). Innanzitutto, bisogna trovare un numero a che, sostituito a x, rende il polinomio P(x) uguale a 0. Tale numero è 2. Infatti, operando la sostituzione, abbiamo: 2x² – 6x + 4 = 2(2)² – 6(2) + 4 = 2(4) – 6(2) + 4 = 8 – 12 + 4 = +12 –12 = 0. Per il teorema di Ruffini, questo significa che 2x² – 6x + 4 è divisibile per il binomio x – 2 con resto 0. E quindi (ecco il punto che più ci interessa) il quoziente Q(x) di (2x² – 6x + 4) : (x – 2), moltiplicato per il binomio x – 2 dà come risultato il nostro polinomio di partenza 2x² – 6x + 4. In sostanza, 2x² – 6x + 4 = [Q(x)] (x – 2). E così abbiamo ridotto il polinomio P(x) al prodotto di due polinomi. A questo punto dobbiamo solo trovare il quoziente Q(x) di (2x² – 6x + 4) : (x – 2), tramite la regola di Ruffini.]

2. (B) Qual è il quoziente di (2x² – 6x + 4) : (x – 2)?

[2x – 2, con resto 0. Per calcolarlo, basta utilizzare la regola di Ruffini:

Quindi il quoziente di (2x² – 6x + 4) : (x – 2) è 2x – 2 con resto 0.

Se moltiplichiamo il quoziente per il divisore della nostra divisione, otteniamo il polinomio dividendo: (2x – 2) (x – 2) = 2x² – 4x –2x + 4 = 2x² – 6x + 4. Abbiamo così ottenuto quello che cercavamo: dimostrare che, tramite il teorema e la regola di Ruffini, possiamo scomporre un polinomio in due fattori: 2x² – 6x + 4 è scomponibile in (2x – 2) (x – 2).]

2. LO ZERO RAZIONALE

3. (A) Che cos’è lo zero razionale di un polinomio P(x) a coefficienti interi?

[Un numero razionale che, sostituito a x, annulla il polinomio, cioè rende il polinomio uguale a 0. Ricordiamo che un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione.

Esempio: lo zero razionale del polinomio 2x² – 6x + 4, come abbiamo visto sopra, è 2. Infatti, sostituendo x con 2, il polinomio è uguale a 0: 2x² – 6x + 4 = 2(2)² – 6(2) + 4 = 2(4) – 6(2) + 4 = 8 – 12 + 4 = +12 –12 = 0.]

4. (B) Come si può definire lo zero razionale di un polinomio P(x) a coefficienti interi rispetto al termine noto del polinomio?

[È un divisore del termine noto.

Esempio: lo zero razionale del polinomio 2x² – 6x + 4, come abbiamo visto sopra, è 2, e 2 è un divisore del termine noto (4). Ovviamente il termine noto 4 ha anche altri due divisori, 1 e 4, ma essi non sono zeri razionali del polinomio; infatti se si sostituiscono a x il polinomio non si annulla (non è uguale a 0). È da notare che non sempre un polinomio ha uno zero razionale.]

5. (B) In generale, che caratteristiche ha lo zero razionale di un polinomio a coefficienti interi?

[È un numero razionale $\pm \frac{m}{n}$, dove “±” indica che il segno davanti alla frazione può essere + oppure –, m è un divisore del termine noto e n è un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Esempio: secondo questa definizione, lo zero razionale del polinomio 2x² – 6x + 4 può essere uno dei seguenti numeri: $\pm \frac{1}{1},\pm \frac{2}{1},\pm \frac{4}{1},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{2}{2},\pm \frac{4}{2}$. Poi, come abbiamo visto sopra, l’unico zero razionale di tale polinomio è 2, cioè $+\frac{2}{1}$.]

6. (C) Qual è lo zero razionale del seguente polinomio: x³ – 2x² + x – 12?

[3. Infatti se sostituiamo 3 a x, otteniamo x³ – 2x² + x – 12 = 0. Più nei dettagli: x³ – 2x² + x – 12 = 3³ – 2(3)² + 3 – 12 = 27 – 18 + 3 – 12 = + 30 – 30 = 0. Questo significa che, per il teorema di Ruffini, x³ – 2x² + x – 12 è divisibile per il binomio x – 3 con resto 0.]

7. (C) Quali sono i divisori del polinomio x³ – 2x² + x – 12, sapendo che lo zero razionale è 3?

[x² + x + 4 e x – 3. Infatti, (x² + x + 4) (x – 3) = x³ – 2x² + x – 12. Il polinomio x² + x + 4 è il quoziente della divisione tra il polinomio di partenza, x³ – 2x² + x – 12, e il binomio x – 3, che si ricava dallo zero razionale, 3. Per ottenere il quoziente di (x³ – 2x² + x – 12) (x – 3), basta applicare la regola di Ruffini:

Poiché i coefficienti del quoziente sono 1, +1 e +4, e il dividendo della nostra divisione e di grado 3, il quoziente è: x² + x + 4. Lo 0 finale si riferisce, come si sa, al resto della divisione.]