11.4 SCOMPOSIZIONE DI UN PARTICOLARE TRINOMIO DI SECONDO GRADO
1. (A) Qual è la scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado tipo: x2 + sx + p?
[La scomposizione in fattori è (x + a) (x + b) nel caso in cui a + b = s e ab = p (dove s e p stanno, rispettivamente, per “somma” e “prodotto”).
Esempio: x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4) perché 3 + 4 = 7 e 3 ⋅ 4 = 12. È da notare, inoltre, che affinché la scomposizione di x2 + sx + p in (x + a) (x + b) sia valida, x2 deve avere coefficiente 1.]
2. (C) Qual è la scomposizione in fattori del seguente trinomio di secondo grado: x2 + 7x + 10?
[(x + 2) (x + 5). Infatti x2 + 7x + 10 = x2 + (5 + 2)x + (5 ⋅ 2).]
3. (B) Attraverso quali passaggi si può dimostrare che x2 + sx + p = (x + a) (x + b) se x2 + sx + p = x2 + (a + b)x + (a ⋅ b)?
[Poiché x2 + (a + b)x + (a ⋅ b) = x2 + ax + bx + ab, possiamo operare un raccoglimento parziale: x(x + a) + b(x + a), e quindi un raccoglimento totale: (x + a)(x + b).
Esempio: x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4) perché x2 + 7x + 12 = x2 + (3 + 4)x + (3 ⋅ 4) = x2 + 3x + 4x + (3 ⋅ 4) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3) (x + 4).]