8.3 EQUAZIONI BINOMIE

1. REGOLA GENERALE

1. (A) Che cos’è un’equazione binomia?

[Un’equazione riconducibile alla forma axⁿ + b = 0, con n numero intero positivo (cioè naturale diverso da zero) e a e b numeri reali diversi da zero.]

2. (A) Come si risolve un’equazione binomia, ovvero un’equazione riconducibile alla forma axⁿ + b = 0?

3. (A) Come si risolve un’equazione binomia axⁿ + b = 0 se n > 2 e n è pari? [

4. (B) Perché, se i coefficienti a e b sono concordi, l’equazione $x^n=-\frac{b}{a}$ con n pari e non ammette soluzioni reali?

[Perché per risolverla occorrerebbe estrarre la radice con esponente pari di un numero negativo, che, come si sa, è un’operazione impossibile.]

5. (A) Come si risolve un’equazione binomia axⁿ + b = 0 se n > 2 e n è dispari?

[Basta estrarre la radice ennesima di $-\frac{b}{a}$ (esempio: la soluzione di x⁵ + 32 = 0 → x⁵ = −32, dove il coefficiente sottinteso dell’incognita è +1, è: x = −2).]

2. ESEMPI

6. (B) Quali sono, se esistono, le radici (soluzioni) della seguente equazione 2x³ − 16 = 0?

[x = 2. Ecco i passaggi: 2x³ − 16 = 0 → 2x³ = 16 → $x^3=\frac{16}{2}$ → x³ = 8 → $x=\sqrt[3]{8}$ → x = 2.]

7. (B) Quali sono, se esistono, le radici della seguente equazione 16x⁴ + 625 = 0?

[L’equazione non ammette soluzioni reali perché l’esponente dell’incognita è pari e i coefficienti sono concordi.]

8. (B) Quali sono, se esistono, le radici della seguente equazione 81x⁴ − 256 = 0?

[$x_1=-\frac{4}{3}$ e $x_2=\frac{4}{3}$. Ecco i passaggi: 81x⁴ − 256 = 0 → 81x⁴ = 256 → $x^4=\frac{256}{81}$ → $x=\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$ → $x_1=-\frac{4}{3}$ e $x_2=\frac{4}{3}$.]