8.4 EQUAZIONI TRINOMIE

1. IN GENERALE

1. (A) Che cos’è un’equazione trinomia?

[Un’equazione riconducibile alla forma $a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$, con n intero positivo e a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0. Quindi l’incognita compare due volte con esponente l’uno il doppio dell’altro. Esempio 1: $3x^4+x^2-2=0$. Esempio 2: $x^6-5x^3-1=0$. Esempio 3: $-x^8+x^4+7=0$.]

2. (B) Come è detta un’equazione trinomia $a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$ in cui n = 2?

[Equazione biquadratica.]

3. (A) Come si risolve un’equazione trinomia?

[Bisogna trasformarla in un’equazione di secondo grado.]

4. (A) Come si fa a trasformare un’equazione trinomia $a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$ in un’equazione di secondo grado?

[Si utilizza una variabile ausiliaria z e ponendo $x^n=z$ e quindi $x^{2n}=z^2$, l’equazione iniziale assume la forma $a{z}^2+bz+c=0$, cioè diventa un’equazione di secondo grado nell’incognita z.]

2. ESEMPIO

5. (B) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione trinomia $8x^6-63x^3-8=0$?

[Ponendo $x^3=z$, la si trasforma nell’equazione di secondo grado nell’incognita z: $8z^2-63z-8=0$.]

6. (B) Quali sono le radici (soluzioni) dell’equazione $8z^2-63z-8=0$?

[$z_1=-\frac{1}{8}$ e $z_2=8$. Ecco i passaggi: $\Delta ={(-63)}^2-4\left(8\right)(-8)=3969+256=4225$; quindi $z=\frac{-(-63)\pm \sqrt{4225}}{2\cdot 8}=\frac{+63\pm 65}{16}=z_1=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8}$ e $z_2=\frac{128}{16}=8$.]

7. (B) Una volta ottenute le radici di $8z^2-63z-8=0$, ovvero $z_1=-\frac{1}{8}$ e $z_2=8$, come si risolve l’equazione trinomia di partenza $8x^6-63x^3-8=0$?

[Risolvendo le due equazioni binomie: $x^3=-\frac{1}{8}$ e $x^3=8$, ottenute sostituendo a z i due valori trovati. Ci dobbiamo infatti ricordare che abbiamo posto $x^3=z$.]

8. (B) Quali sono le radici di $8x^6-63x^3-8=0$?

[$x=-\frac{1}{2}$ e $x=2$.]