7.4 EQUAZIONI PARAMETRICHE

1. IN GENERALE

1. (A) Che cos’è un’equazione parametrica?

[Un’equazione letterale in cui, invece di richiedere il valore dell’incognita, si richiede il valore di un parametro nel caso in cui valgano certe condizioni (dette vincoli). In altri termini, mentre le equazioni letterali sono equazioni in cui l’obiettivo è ricavare il valore dell’incognita x al variare del parametro a che rimane ignoto, le equazioni parametriche sono equazioni in cui l’obiettivo è ricavare il valore esatto del parametro a conoscendo il valore dell’incognita x o una sua condizione. In termini pratici, con le equazioni parametriche, andiamo ad avere o un’equazione in cui il parametro diventa l’incognita (vedi l’esempio 1) oppure un sistema di equazioni (vedi l’esempio 2).

Esempio 1: data l’equazione letterale $a x^{2} - 2 x + 3 = 0$ nell’incognita x, vogliamo sapere per quale valore di a la soluzione è uguale a 2 (“la soluzione è uguale a 2” è il vincolo).

Esempio 2: data l’equazione letterale $x^{2} - 2 b x + 3 - b = 0$ nell’incognita x, vogliamo sapere per quale valore di b l’equazione ha soluzioni la cui somma è −5 (“l’equazione ha soluzioni la cui somma è −5” è il vincolo).]

2. (A) Come si procede per risolvere un’equazione parametrica?

[Bisogna trasformare le condizioni richieste in equazioni (o disequazioni) che hanno per incognita il parametro di cui è richiesto il valore e poi risolverle.

Esempio: se vogliamo sapere qual è il valore di k nell’equazione $x^{2} - 2 k x + 2 k = 0$ nell’incognita x se x = 5, bisogna sostituire x con 5 e poi risolvere l’equazione trattando k come se fosse l’incognita.]

2. SE Δ > 0 (CIOÈ SE LE SOLUZIONI SONO REALI E DISTINTE)

3. (B) Se vogliamo sapere per quali valori di k la seguente equazione $x^{2} + (2 k - 3) x + k^{2} + 1 = 0$ ha due soluzioni reali e distinte, come bisogna procedere?

[Bisogna porre la condizione per cui un’equazione di secondo grado come quella in esame ha due soluzioni reali e distinte e tale condizione è che il suo discriminante sia maggiore di 0: Δ > 0. Infatti, come abbiamo visto nel capitolo “Discriminante e formula risolutiva” della lezione “Equazioni di secondo grado”:

se Δ > 0, l’equazione ha due soluzioni distinte: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ;
se Δ = 0, l’equazione ha due soluzioni coincidenti: $x = \frac{- b}{2 a}$ ;
se Δ < 0, l’equazione non ha soluzione reale.]

4. (B) Qual è il discriminante dell’equazione $x^{2} + (2 k - 3) x + k^{2} + 1 = 0$ ?

[ $- 12 k + 5$ . Applicando la formula generale è $Δ = b^{2} - 4 a c$ , tale risultato si ottiene così: $Δ = {(2 k - 3)}^{2} - 4 (k^{2} + 1) = 4 k^{2} - 12 k + 9 - 4 k^{2} - 4 = - 12 k + 5$ .]

5. (B) Sapendo che il discriminante dell’equazione $x^{2} + (2 k - 3) x + k^{2} + 1 = 0$ è Δ = − 12k + 5, come si fa a determinare per quali valori di k tale equazione ha due soluzioni distinte?

[Dobbiamo verificare se Δ = − 12k + 5 è maggiore di 0, e poiché ciò dipende dal valore di k, dobbiamo risolvere la disequazione nell’incognita k: − 12k + 5 > 0.]

6. (B) Qual è la soluzione della seguente disequazione: − 12k + 5 > 0?

[ $k < \frac{5}{12}$ , quindi per tutti i valori di k minori di $\frac{5}{12}$ , l’equazione di partenza, $x^{2} + (2 k - 3) x + k^{2} + 1 = 0$ , ha due soluzioni reali e distinte. Al risultato $k < \frac{5}{12}$ si arriva così: $- 12 k + 5 > 0 \to - 12 k > - 5 \to + 12 k < + 5$

(attenzione: abbiamo cambiato il verso del segno di disuguaglianza perché abbiamo moltiplicato entrambi i membri per −1 che è un numero negativo),

$\frac{12}{12} k < \frac{+ 5}{12} \to k < \frac{+ 5}{12}$ .]

3. SE UNA DELLE SOLUZIONI È UGUALE A UN VALORE ASSEGNATO

7. (B) Data l’equazione $(k - 2) x^{2} + (k + 4) x - 15 k = 0$ nell’incognita x, come si fa a determinare il valore del parametro k, se almeno una delle soluzioni dell’equazione è 5?

[Dobbiamo sostituire 5 a x e trovare la soluzione dell’equazione ottenuta nell’incognita k: $(k - 2) 25 + (k + 4) 5 - 15 k = 0$ .

Attenzione:

È da notare che in quest’ultima equazione l’incognita non è più x, come nell’equazione di partenza, ma k, che nell’equazione di partenza era il parametro.]

8. (B) Qual è la soluzione dell’equazione $(k - 2) 25 + (k + 4) 5 - 15 k = 0$ (dove k è l’incognita)?

[2. A tale risultato si arriva così:

$(k - 2) 25 + (k + 4) 5 - 15 k = 0 \to 25 k - 50 + 5 k + 20 - 15 k = 0$

$25 k + 5 k - 15 k = + 50 - 20 \to + 15 k = + 30 \to k = \frac{30}{15} \to k = 2$

Quindi se x = 5, l’equazione $(k - 2) x^{2} + (k + 4) x - 15 k = 0$ è vera a condizione che k = 2.]

4. SE LA SOMMA DELLE SOLUZIONI È UN VALORE NOTO

9. (B) Data l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , se tale equazione ammette due soluzioni reali, qual è la loro somma?

[ $\frac{- b}{a}$ . Chiamando s la somma delle soluzioni, la formula è: $\frac{- b}{a} = s$ . Si veda il capitolo “Relazioni tra radici e coefficienti di un’equazione di secondo grado” nella lezione “EQUAZIONI DI SECONDO GRADO”.]

10. (B) Data l’equazione parametrica $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ nell’incognita x, qual è la prima cosa da fare se si vuole sapere quale deve essere il valore del parametro k, nel caso in cui la somma delle soluzioni sia 6?

[Stabilire se tale equazione ammette soluzioni reali. Ovviamente se l’equazione in esame non ammette soluzioni reali, non ha senso porsi il problema di quale sia il valore di k se la somma delle soluzioni è 6 (non essendoci le soluzioni, non c’è nemmeno la loro somma).]

11. (B) Come si fa a stabilire se l’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ ammette soluzioni reali?

[Come per ogni equazione, bisogna determinare il suo discriminante: se esso è maggiore o uguale a 0, allora l’equazione ha soluzioni reali (coincidenti se Δ = 0; distinte se Δ > 0) se, invece, è inferiore a 0 allora l’equazione è impossibile (non ha soluzioni reali; a livello grafico significa che la parabola non interseca l’asse x).]

12. (B) Qual è il discriminante dell’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ ?

[Δ = 8k − 16. Ecco i vari passaggi: $Δ = {(2 k + 2)}^{2} - 4 (k^{2} - 5) = 4 k^{2} + 8 k + 4 - 4 k^{2} - 20 = + 8 k + 4 - 20 = 8 k - 16$ .]

13. (B) Il discriminante Δ = 8k − 16 è maggiore, minore o uguale a zero?

[Dipende dal valore di k, ma se vogliamo sapere per quale valore di k tale discriminante è maggiore o uguale a zero (Δ ≥ 0), occorre svolgere la disequazione 8k − 16 ≥ 0.]

14. (B) Data la disequazione 8k − 16 ≥ 0, qual è il valore di k?

[k ≥ 2. Infatti, $8 k - 16 \geq 0 \to 8 k \geq + 16 \to \frac{8 k}{8} \geq \frac{+ 16}{8} \to k \geq 2$ .]

15. (B) Data l’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ , a che cosa ci serve sapere che Δ = 8k − 16 ≥ 0 per k ≥ 2?

[Così sappiamo che per tutti i valori di k maggiori o uguali a 2 e solo per essi, l’equazione ha una o due soluzioni reali (invece, per k < 2, l’equazione non ammette soluzioni reali).]

16. (B) Come si fa a sapere per quale valore di k la somma delle soluzioni dell’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ è uguale a 6?

[Si applica la formula per determinare la somma s delle soluzioni di un’equazione in forma normale ( $x^{2} + b x + c = 0$ ) ovvero: $s = \frac{- b}{a}$ .]

17. (B) Data l’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ , che forma prende l’equazione $\frac{- b}{a} = s$ se ipotizziamo che la somma delle soluzioni sia 6?

[ $\frac{- (2 k + 2)}{1} = 6$ . Al posto di b abbiamo messo il coefficiente di x (ovvero 2k + 2); al posto di a abbiamo messo 1 che è il coefficiente sottinteso di $x^{2}$ , al posto di s abbiamo messo 6 che, per ipotesi, è la somma delle soluzioni.]

18. (B) Qual è la soluzione della seguente equazione $\frac{- (2 k + 2)}{1} = 6$ ?

[−4. Infatti:

$\frac{- (2 k + 2)}{1} = 6$

$1 (\frac{- (2 k + 2)}{1}) = 6 \cdot 1$

$- (2 k + 2) = 6$

$- 2 k - 2 = 6$

$- 2 k = 6 + 2$

$- 2 k = 8$

$k = \frac{8}{- 2}$

$k = \frac{- 8}{2}$

$k = \frac{- 4}{1}$

$k = - 4$ .]

19. (B) Data l’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ , quale valore deve assumere k se la somma delle soluzioni è 6?

[Non esiste nessun valore di k tale che la somma delle soluzioni è 6, infatti se la somma delle soluzioni fosse 6, k dovrebbe essere uguale a −4, ma affinché le soluzioni dell’equazione siano reali, k deve essere maggiore o uguale a 2, mentre −4 è inferiore a 2.]

5. SE IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI È UN VALORE NOTO

20. (B) Data l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , se tale equazione ammette due soluzioni reali, qual è il loro prodotto?

[ $\frac{c}{a}$ . Chiamando p il prodotto delle soluzioni, la formula è: $\frac{c}{a} = p$ . Si veda il capitolo “Relazioni tra radici e coefficienti di un’equazione di secondo grado” nella lezione “EQUAZIONI DI SECONDO GRADO”.]

21. (B) Data l’equazione parametrica $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ nell’incognita x, come si fa a stabilire il valore di k se il prodotto delle soluzioni di tale equazione è 20?

[Sapendo che il prodotto p delle soluzioni di un’equazione in forma normale $a x^{2} + b x + c = 0$ è $\frac{c}{a} = p$ , bisogna risolvere l’equazione $\frac{k^{2} - 5}{1} = 20$ , in modo da determinare il valore di k quando il prodotto delle soluzioni è uguale a 20.]

22. (B) Qual è la soluzione dell’equazione $\frac{k^{2} - 5}{1} = 20$ rispetto a k?

[ $k_{1} = - 5$ e $k_{2} = + 5$ . A tale risultato si arriva così: $\frac{k^{2} - 5}{1} = 20 \to k^{2} - 5 = 20 \to k^{2} = 20 + 5 \to k^{2} = 25 \to k = \pm 5$ , cioè $k_{1} = - 5$ e $k_{2} = + 5$ .]

23. (B) Data l’equazione $x^{2} + (2 k + 2) x + k^{2} - 5 = 0$ , se il prodotto delle soluzioni è 20 qual è il valore di k?

[k può avere solo valore +5, infatti, come abbiamo visto sopra (paragrafo precedente), l’equazione ha soluzioni reali solo se k ≥ 2, ma mentre +5 rispetta questa condizione, −5, essendo inferiore a 2, non la rispetta. In altre parole se attribuiamo a k il valore −5 così come qualsiasi altro valore inferiore a 2 l’equazione non ha soluzione reale.

Attenzione:

tutte le soluzioni con k ≥ 2 sono reali, ma se il prodotto delle soluzioni è 20, k può avere solo il valore +5.]

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