7.3 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LETTERALI FRATTE

1. (B) Qual è il primo passo per risolvere la seguente equazione letterale fratta di secondo grado: $\frac{a + 2}{x^{2} - x + a x - a} + \frac{1}{x - 1} = 2$ ?

[Scomporre in fattori il denominatore della prima frazione: $\frac{a + 2}{(x + a) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} = 2$ .]

2. (B) Quali sono le condizioni di esistenza dell’equazione $\frac{a + 2}{(x + a) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} = 2$ ?

[C.E.: $x \neq - a$ ; $x \neq 1$ , altrimenti avremmo denominatori nulli.]

3. (B) Qual è il primo passo per risolvere $\frac{a + 2}{(x + a) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} = 2$ ?

[Moltiplicare entrambi i membri per $(x + a) (x - 1)$ in modo da eliminare i denominatori (operazione lecita perché le condizioni di esistenza garantiscono che tale denominatore è diverso da zero) e ottenere un’equazione intera invece che frazionaria: $a + 2 + x \cdot (x + a) = 2 (x + a) (x - 1)$ , che svolgendo i calcoli diventa $4 a + 2 + 3 x - 2 x^{2} - 2 a x = 0$ . Ecco i passaggi:

$\frac{a + 2}{(x + a) (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} = 2$

$(x + a) (x - 1) \cdot \frac{a + 2}{(x + a) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot (x + a) (x - 1) = 2 (x + a) (x - 1)$

$a + 2 + x + a = 2 (x + a) (x - 1)$

$a + 2 + x + a = 2 x^{2} - 2 x + 2 a x - 2 a$

$a + 2 + x + a - 2 x^{2} + 2 x - 2 a x + 2 a = 0$

$4 a + 2 + 3 x - 2 x^{2} - 2 a x = 0$ .]

4. (B) Come diventa $4 a + 2 + 3 x - 2 x^{2} - 2 a x = 0$ se viene ridotta in forma normale?

[ $2 x^{2} + (2 a - 3) x - 4 a - 2 = 0$ . Ecco i passaggi: $4 a + 2 + 3 x - 2 x^{2} - 2 a x = 0$

$- 4 a - 2 - 3 x + 2 x^{2} + 2 a x = 0$

$2 x^{2} + (2 a - 3) x - 4 a - 2 = 0$ .]

5. (B) Qual è il discriminante di $2 x^{2} + (2 a - 3) x - 4 a - 2 = 0$ ?

[ $Δ = {(2 a + 5)}^{2}$ . Ecco i passaggi: $Δ = {(2 a - 3)}^{2} - 4 (2) (- 4 a - 2)$

$Δ = 4 a^{2} - 12 a + 9 + 32 a + 16$

$Δ = 4 a^{2} + 20 a + 25$

$Δ = {(2 a + 5)}^{2}$ .]

6. (B) Come si procede una volta che abbiamo ottenuto $Δ = {(2 a + 5)}^{2}$ ?

[Dobbiamo verificare che $Δ$ sia uguale a 0 o maggiore di 0, perché un discriminante non può essere minore di zero se vogliamo soluzioni reali.]

7. (B) Se $Δ = 0$ , quanto vale a?

[ $a = - \frac{5}{2}$ . Ecco i passaggi:

${(2 a + 5)}^{2} = 0$

$\sqrt{{(2 a + 5)}^{2}} = \sqrt{0}$

$2 a + 5 = 0$

$2 a = - 5$

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 5}{2}$

$a = - \frac{5}{2}$ .]

8. (B) Se $a = - \frac{5}{2}$ , qual è il valore di x?

[2. A questa soluzione daremo il nome di $x_{1, 2}$ per distinguerla dalle altre (che chiameremo x1 e x2), quindi $x_{1, 2} = 2$ . Per arrivarci dobbiamo applicare la formula $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ all’equazione $2 x^{2} + (2 a - 3) x - 4 a - 2 = 0$ , ipotizzando che Δ = 0 e sostituendo a con $- \frac{5}{2}$ (ma attenzione a non confondere a della formula con a dell’equazione che stiamo analizzando):

$x = \frac{- [2 (- \frac{5}{2}) - 3] \pm \sqrt{0}}{2 (2)}$

$x = \frac{- (- 5 - 3) \pm 0}{4}$

$x = \frac{- (- 8)}{4}$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$ .]

9. (B) La soluzione $x_{1, 2} = 2$ se $a = - \frac{5}{2}$ è accettabile?

[Sì, perché rispetta le condizioni di esistenza (C.E.: $x \neq - a$ ; $x \neq 1$ ): infatti, essendo $a = - \frac{5}{2}$ (e quindi $- a = \frac{5}{2}$ ) e x = 2, si ha che $x \neq - a$ , poiché $2 \neq \frac{5}{2}$ . Va da sé che $2 \neq 1$ e quindi la condizione x ≠ 1 è sempre rispettata.]

10. (B) Se $Δ > 0$ , quanto vale a?

[ $a \neq - \frac{5}{2}$ . Infatti, $Δ > 0 \to {(2 a + 5)}^{2} > 0$ , ma un numero elevato alla seconda è sempre maggiore o uguale a zero; noi però dobbiamo verificare solo che sia maggiore di zero (infatti che $Δ$ sia uguale a 0 lo abbiamo già verificato sopra), quindi dobbiamo escludere i casi in cui ${(2 a + 5)}^{2} = 0$ . Da questo segue che ${(2 a + 5)}^{2} > 0$ se e solo se:

${(2 a + 5)}^{2} \neq 0$

$\sqrt{{(2 a + 5)}^{2}} \neq \sqrt{0}$

$2 a + 5 \neq 0$ , che diventa:

$2 a \neq - 5$

$\frac{2 a}{2} \neq \frac{- 5}{2}$

$a \neq - \frac{5}{2}$ .]

11. (B) Se $a \neq - \frac{5}{2}$ , qual è il valore di x?

[ $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ o $x_{2} = 2$ . Per arrivarci dobbiamo applicare la formula $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ all’equazione $2 x^{2} + (2 a - 3) x - 4 a - 2 = 0$ :

$x = \frac{- (2 a - 3) \pm \sqrt{{(2 a + 5)}^{2}}}{2 (2)}$

$x = \frac{- 2 a + 3 \pm (2 a + 5)}{4}$

$x_{1} = \frac{- 2 a + 3 - 2 a - 5}{4} = \frac{- 4 a - 2}{4} = - a - \frac{1}{2}$

oppure

$x_{2} = \frac{- 2 a + 3 + 2 a + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ .]

12. (B) Le soluzioni $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ e $x_{2} = 2$ che si hanno se $a \neq - \frac{5}{2}$ sono accettabili?

[Solo se si verificano le condizioni C.E. x ≠ −a; x ≠ 1. Qui di seguito le analizziamo separatamente a cominciare da $x_{2} = 2$ .]

13. (B) La soluzione $x_{2} = 2$ rispetta le C.E. x ≠ −a; x ≠ 1? [

Affinché sia verificata la condizione $x_{2} \neq - a$ , deve essere $2 \neq - a$ , cioè $a \neq - 2$ ;
la condizione $x_{2} \neq 1$ è sempre verificata perché $2 \neq 1$ .]

14. (B) Le condizioni C.E. x ≠ −a; x ≠ 1 sono verificate su $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ (in altri termini, la soluzione $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ rispetta le C.E. x ≠ −a; x ≠ 1)?

[La condizione x ≠ −a è sempre verificata; la condizione x ≠ 1 è verificata solo se $a \neq - \frac{3}{2}$ . Analizziamo il caso $x_{1} \neq - a$ :

$- a - \frac{1}{2} \neq - a$

$- a + a \neq + \frac{1}{2}$

$0 \neq + \frac{1}{2}$ , che è una condizione sempre verificata perché 0 è diverso da $+ \frac{1}{2}$ . Quindi la prima condizione è sempre verificata. Ora analizziamo il caso $x_{1} \neq 1$ :

$- a - \frac{1}{2} \neq 1$

$- a \neq 1 + \frac{1}{2}$

$- a \neq \frac{3}{2}$

$a \neq - \frac{3}{2}$ . Quindi questa seconda soluzione è accettabile solo se $a \neq - \frac{3}{2}$ .]

15. (B) Riassumendo, quali sono le soluzioni dell’equazione letterale fratta di secondo grado da cui siamo partiti: $\frac{a + 2}{x^{2} - x + a x - a} + \frac{1}{x - 1} = 2$ ? [

Se $a = - \frac{5}{2}$ , abbiamo due soluzioni coincidenti accettabili: $x_{1} = x_{2} = 2$ .
Se $a = - \frac{3}{2}$ , abbiamo una sola soluzione accettabile $x_{2} = 2$ . Infatti la soluzione $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ diventa:
$x_{1} = - a - \frac{1}{2}$

$x_{1} = - (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{2} \to x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \to x_{1} = \frac{3 - 1}{2} \to x_{1} = \frac{2}{2} \to x_{1} = 1$

ma questa soluzione non è accettabile perché vìola la C.E. x ≠ 1.
Se a = −2, abbiamo una sola soluzione accettabile: $x_{1} = \frac{3}{2}$ , che si ottiene così: $x_{1} = - (- 2) - \frac{1}{2} \to x_{1} = 2 - \frac{1}{2} \to x_{1} = \frac{4 - 1}{2} \to x_{1} = \frac{3}{2}$ . Invece $x_{2} = 2$ non è accettabile perché vìola la condizione C.E. x ≠ −a; infatti se a = −2, allora −a = 2 e quindi $x_{2} = - a$ .
Se a è diverso dai valori precedenti (cioè se $a \neq - \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}, - 2$ ), abbiamo che le soluzioni sono $x_{1} = - a - \frac{1}{2}$ e $x_{2} = 2$ .]

Schema delle soluzioni dell’equazione letterale fratta di secondo grado

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