7.2 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LETTERALI INTERE

1. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LETTERALI

1. (A) Che cos’è un’equazione di secondo grado letterale (intera o fratta)?

[Un’equazione di secondo grado in cui, oltre alle incognite (e ad eventuali costanti), compaiono anche altre lettere: i parametri. Esempio 1: $a x^{2} + x = - 2$ nell’incognita x (qui il parametro è a). Esempio 2: $(a + 1) x^{2} - (a + b) x - a = 0$ nell’incognita x (qui i parametri sono a e b). Esempio 3: $\frac{1}{k} + x^{2} = 2 x$ nell’incognita x (qui il parametro è k). È bene precisare che le costanti sono numeri che non cambiano mai di valore: ‘−2’ avrà sempre quel valore, non potrà cambiare nell’equazione. I parametri, invece, possono assumere tutti i valori reali compatibili con le condizioni di esistenza dell’equazione. Nell’esempio 3, deve essere $k \neq 0$ , altrimenti l’equazione perde di significato. Questo però non vuol dire che k abbia un valore esatto.]

2. (A) Per risolvere un’equazione di secondo grado letterale (intera o fratta), che cosa è necessario fare?

[È necessario discuterla, cioè stabilire come cambiano le soluzioni dell’equazione al variare dei valori assunti dai parametri.]

2. ESEMPIO DI EQUAZIONE LETTERALE INTERA

3. (B) Qual è l’applicazione della formula risolutiva $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ alla seguente equazione di secondo grado letterale intera: $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ nell’incognita x?

[ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 a}}{2 a}$ . Essendo c uguale a 1, è stato eliminato all’interno della radice.]

4. (B) La formula risolutiva $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 a}}{2 a}$ della seguente equazione di secondo grado letterale intera: $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ è definita per qualsiasi valore di a?

[No, è definita solo se $a \neq 0$ e $16 - 4 a \geq 0$ . Infatti se a fosse uguale a 0, il denominatore 2a sarebbe 0, ma il denominatore di una frazione non può mai essere 0; se 16 − 4a non fosse maggiore o uguale a 0, sarebbe un numero negativo, ma il radicando di una radice quadrata non può essere un numero negativo.]

5. (B) Che cosa accade se a nell’equazione $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ è uguale a 0?

[Che l’equazione diventa di primo grado $- 4 x + 1 = 0$ . Infatti qualunque sia il valore di x, se a = 0 allora $a x^{2} = 0$ (qualsiasi numero moltiplicato per 0 fa 0).]

6. (B) Qual è la soluzione dell’equazione $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ se a = 0?

[ $\frac{1}{4}$ . Infatti, come abbiamo visto, l’equazione diventa di primo grado: $- 4 x + 1 = 0 \to - 4 x = - 1 \to 4 x = 1$ (applicando il secondo principio di equivalenza, abbiamo moltiplicato entrambi i membri per −1) $\to \frac{4}{4} x = \frac{1}{4} \to x = \frac{1}{4}$ .]

7. (B) Abbiamo detto che il discriminante $16 - 4 a$ deve essere maggiore o uguale a 0 ( $16 - 4 a \geq 0$ ); come deve essere a affinché tale condizione sia soddisfatta?

[ $a \leq 4$ . Infatti, $16 - 4 a \geq 0 \to - 4 a \geq - 16 \to \frac{- 4 a}{- 4} \leq \frac{- 16}{- 4} \to a \leq 4$ .]

8. (B) Che cosa accade se a nell’equazione $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ è maggiore di 4 ( $a > 4$ )?

[Che il discriminante 16 − 4a è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali, perché il radicando di una radice quadrata non può essere negativo.]

9. (B) Ricapitolando, quali sono le soluzioni dell’equazione $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ? [

Se $a \neq 0$ e $a \leq 4$ , l’insieme delle soluzioni è $S = {\frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 a}}{2 a}}$ ;
se $a = 0$ , l’insieme delle soluzioni è $S = {\frac{1}{4}}$ ;
se $a > 4$ , l’insieme delle soluzioni è $S = \emptyset$ .]

10. (B) Perché per un’equazione letterale come $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ si parla di insieme delle soluzioni invece che semplicemente di soluzioni?

[Perché le soluzioni dipendono dal valore del parametro: al variare di a, cambiano le soluzioni dell’equazione e quindi occorre descrivere tutti i possibili insiemi delle soluzioni. Ma (attenzione!) per ogni valore fissato di a, le soluzioni sono sempre al massimo due.]

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