7.1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO NUMERICHE FRATTE

1. IN GENERALE

1. (A) Che cos’è un’equazione di secondo grado numerica frazionaria (o fratta)?

[Un’equazione in cui non ci sono lettere, a parte l’incognita, e che presenta l’incognita al denominatore di almeno una frazione. Tali equazioni possono essere ricondotte alla forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . Esempio: $\frac{2}{3 - x^{2}} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x - 1}$ .]

2. (A) Come si fa a risolvere un’equazione di secondo grado numerica fratta? [

Si individuano le condizioni di esistenza (come nel caso delle equazioni frazionare di primo grado);
si riconduce l’equazione fratta a un’equazione intera, moltiplicando i due membri dell’equazione per il minimo comune denominatore;
si risolve l’equazione intera ottenuta;
si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle non compatibili con tali condizioni.]

2. ESEMPIO

3. (B) Che cosa occorre fare per determinare le condizioni di esistenza dell’equazione : $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$ ?

[Occorre scomporre in fattori il denominatore della seconda frazione: $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$ . Poiché $x^{2} - 9$ è un prodotto notevole del tipo $A^{2} - B^{2}$ , per scomporlo in fattori abbiamo applicato l’equivalenza $(A - B) (A + B) = (A^{2} - B^{2})$ .]

4. (B) Quali sono le condizioni di esistenza della seguente equazione: $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$ ?

[C.E. $x \neq - 3$ e $x \neq 3$ . Infatti, se x fosse uguale a −3, (x + 3) sarebbe uguale a 0; se x fosse uguale a 3, (x − 3) sarebbe uguale a 0. In entrambi i casi il denominatore delle frazioni sarebbe 0, ma come sappiamo, ciò non è possibile perché è impossibile dividere un numero per 0.]

5. (B) Una volta stabilite le condizioni di esistenza, qual è il primo passo per risolvere la seguente equazione: $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$ ?

[Ridurre le frazioni di entrambi i membri a denominatore comune: $\frac{x^{2} - 3 x + 2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)}$ .]

6. (B) Che cosa occorre fare per risolvere la seguente equazione frazionaria: $\frac{x^{2} - 3 x + 2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)}$ ?

[Ridurla in forma intera moltiplicando entrambi i membri per $(x + 3) (x - 3)$ : $(x + 3) (x - 3) \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$ ; il risultato che si ottiene è: $x^{2} - 3 x + 2 x = x + 3$ .]

7. (B) Che cosa occorre fare per risolvere la seguente equazione di secondo grado: $x^{2} - 3 x + 2 x = x + 3$ ?

[Ridurla in forma normale, trasportando i termini del secondo membro nel primo membro cambiandone il segno: $x^{2} - 3 x + 2 x - x - 3 = 0 \to x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .]

8. (B) Qual è il discriminante Δ dell’equazione $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ?

[Δ = 16. Infatti, la formula generale per Δ è $Δ = b^{2} - 4 a c$ , quindi se la applichiamo a $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , abbiamo: $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 (1) (- 3) \to Δ = 4 + 12 \to Δ = 16$ .]

9. (B) Sapendo che Δ = 16, qual è la soluzione di $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ?

[Le soluzioni sono due: $x_{1} = - 1$ e $x_{2} = 3$ . Infatti, applicando la formula risolutiva $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ , abbiamo: $x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{16}}{2 (1)} \to x = \frac{2 \pm 4}{2} \to x_{1} = - \frac{2}{2} = - 1$ e $x_{2} = \frac{6}{2} = 3$ .]

10. (B) Confrontando le due soluzioni $x_{1} = - 1$ e $x_{2} = 3$ dell’equazione $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ con le condizioni di esistenza dell’equazione: $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$ qual è la soluzione di quest’ultima equazione?

[È un’unica soluzione $x = - 1$ . Infatti delle due soluzioni x = 3 non è compatibile con le C.E. x ≠ −3 e x ≠ 3, mentre la soluzione x = −1 lo è.]

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