1.10 FUNZIONE INVERSA
1. (A) Che cos’è la funzione inversa di una funzione f: A → B?
[Se f: A → B è una funzione biunivoca che associa ad ogni elemento x di A un elemento y di B, la sua inversa è la funzione da B a A che associa ad ogni elemento y di B un elemento x di A. Se y1 è immagine di x1 secondo la funzione f: A → B, allora x1 è immagine di y1 secondo la funzione inversa.]
2. (A) Come si indica la funzione inversa della funzione biunivoca f: A → B?
[Così: f−1: B → A.]
3. (A) Se una funzione biunivoca da A a B viene indicata con y = f(x), come viene indicata la sua inversa?
[Così: x = f−1(y). Attenzione: qualche volta tuttavia si preferisce usare x per la variabile indipendente e y la variabile dipendente anche per la funzione inversa di y = f(x), che quindi viene indicata così: y = f−1(x).]
4. (A) Data la funzione biunivoca y = f(x) = 3x − 2, come si fa a ottenere la sua inversa y = f−1(x)? [
- Ricaviamo x in funzione di y: 3x − 2 = y → 3x = y + 2 → x = ;
- poi, se anche nella funzione inversa vogliamo continuare a chiamare x la variabile indipendente e a chiamare y la variabile dipendente, scambiamo x con y: y = .]
5. (A) Come sono i grafici di due funzioni di cui una è l’inverso dell’altra?
[Sono sempre simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.]
6. (B) Se quello in figura è il grafico della funzione biunivoca y = 3x − 2, com’è il grafico della sua funzione inversa: y = ?
[È una retta simmetrica alla retta di funzione y = 3x − 2 rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.]
7. (B) Quali funzioni non ammettono funzione inversa?
[Tutte le funzioni che non sono biunivoche.]
8. (B) Se il grafico di una funzione invertibile passa per i punti di coordinate (−6, −6), (−2, 2), (2, 4), (4, 8), per quali punti passa il grafico della funzione inversa?
[Passa per i punti simmetrici a questi rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero passa per i punti di coordinate (−6, −6), (2, −2), (4, 2), (8, 4). Come si può vedere, l’ascissa dei punti della funzione inversa assume lo stesso valore dell’ordinata dei punti della funzione di partenza e l’ordinata dei punti della funzione inversa assume lo stesso valore dell’ascissa dei punti della funzione di partenza.]
9. (B) Data la funzione y = 2x −3, come si fa a stabilire se è invertibile?
[Bisogna stabilire se è biiettiva (cioè biunivoca): se lo è, allora è invertibile.]
10. (B) Come si fa a stabilire se la funzione y = 2x −3 è biiettiva (cioè biunivoca)?
[Bisogna verificare se è iniettiva e suriettiva; se è sia iniettiva che suriettiva, allora è biiettiva.]
11. (B) Come si fa a stabilire se la funzione y = 2x −3 è iniettiva?
[In generale una funzione è iniettiva se si verifica che se f(x1) = f(x2) allora x1 = x2; nel caso in esame, in effetti se 2x1 −3 = 2x2 −3 allora x1= x2, quindi la funzione y = 2x −3 è iniettiva. Vediamo i passaggi: 2x1 −3 = 2x2 −3
2x1= 2x2
x1= x2.]
12. (B) Come si fa a stabilire se la funzione y = 2x −3 è suriettiva?
[Occorre risolverla rispetto a x e vedere se per ogni y ∈ ℝ l’equazione y = 2x −3 (nell’incognita x) ha almeno una soluzione reale. Risolviamo y = 2x −3 rispetto a x:
y = 2x −3
−2x = −y − 3
2x = y + 3
x = .
Per qualsiasi y esiste almeno una x che soddisfa l’equazione x = , quindi la funzione y = 2x −3 è suriettiva.]
13. (B) In conclusione, la funzione y = 2x −3 è invertibile?
[Sì, perché, come abbiamo dimostrato, è sia iniettiva che suriettiva e quindi biunivoca, e ogni funzione biunivoca è invertibile (ha una funzione inversa).]