1.9 FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE

1. (A) Come si possono classificare le funzioni rispetto all’insieme di arrivo (codominio)?

1. FUNZIONI INIETTIVE

2. (A) Quand’è che una funzione da A a B è iniettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A.]

3. (A) Dato il grafico di una funzione in un sistema cartesiano, come si fa a verificare se la funzione è iniettiva oppure non lo è?

[Se la funzione è iniettiva ogni retta orizzontale (parallela all’asse x) interseca il grafico della funzione in al massimo un punto; se la funzione non è iniettiva una retta orizzontale interseca il grafico della funzione in più di un punto.]

4. (B) Da un punto di vista algebrico, come si fa a verificare se una funzione è iniettiva oppure non lo è?

[Se troviamo due valori distinti di x, x₁ e x₂, appartenenti al dominio della funzione tali che f(x₁) = f(x₂), la funzione non è iniettiva.]

5. (B) Perché, data la funzione y = f(x) da A a B, se abbiamo due valori distinti x₁ e x₂, appartenenti al dominio della funzione, tali che f(x₁) = f(x₂), la funzione non è iniettiva?

[Perché significa che esiste un valore y di B che è immagine di due valori distinti di x (ovvero di x₁ e di x₂), e questo è in contraddizione con la definizione di funzione iniettiva che afferma che ogni elemento di B può essere immagine al massimo di un solo elemento di A.]

6. (B) Osserva i grafici della funzione iniettiva y = x − 1 e della funzione non iniettiva y = x², di che cosa è immagine y = 4?

[Nella funzione iniettiva (y = x − 1), y = 4 è immagine di una sola x, ovvero di x = 5; invece nella funzione non iniettiva (y = x²), y = 4 è immagine di due valori distinti della variabile indipendente: x₁ = −2 e x₂ = 2.]

7. (B) Come si fa in pratica a verificare algebricamente (non graficamente) se la funzione f(x) = $\frac{3x-5}{4}$ è iniettiva?

[Bisogna verificare se ponendo f(x₁) = f(x₂) allora x₁ = x₂, cioè se $\frac{3x_1-5}{4}$ = $\frac{3x_2-5}{4}$ allora x₁ = x₂; in caso affermativo la funzione è iniettiva. Cioè se f(x₁) e f(x₂) sono due elementi del codominio coincidenti, la funzione è iniettiva se anche le loro controimmagini x₁ e x₂ nel dominio sono coincidenti. Vediamo nel caso specifico come bisogna procedere per fare questa verifica. f(x₁) = f(x₂) → $\frac{3x_1-5}{4}$ = $\frac{3x_2-5}{4}$ → 3x₁ − 5 = 3x₂ − 5 (abbiamo eliminato il denominatore moltiplicando entrambi i membri per 4) → 3x₁ = 3x₂ (in base al primo principio di equivalenza, abbiamo aggiunto 5 a entrambi i membri dell’equazione) → x₁ = x₂ (in base al secondo principio di equivalenza, abbiamo diviso entrambi i membri dell’equazione per 3, eliminando così i tre davanti a x₁ e x₂). Abbiamo quindi dimostrato che la funzione f(x) = $\frac{3x-5}{4}$ è iniettiva.]

2. FUNZIONI SURIETTIVE

8. (A) Quand’è che una funzione da A a B è suriettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.]

9. (A) In termini di grafico sagittale (insiemi collegati da frecce), come si può rappresentare una funzione suriettiva da A a B?

[Ad ogni elemento di B arriva almeno una freccia da un elemento di A.]

10. (A) Dato il grafico di una funzione in un sistema cartesiano, come si fa a verificare se la funzione è suriettiva oppure non lo è?

[Se la funzione è suriettiva ogni retta orizzontale (parallela all’asse x) interseca il grafico della funzione in almeno un punto; se la funzione non è suriettiva alcune rette orizzontali non intersecano il grafico della funzione in alcun punto.]

11. (B) Perché la funzione y = $\frac{1}{2}{x}^3-x^2-3x+3$ rappresentata in figura è suriettiva?

[Perché qualsiasi valore y dell’asse delle ordinate è immagine di almeno una x ascissa di un punto del grafico.]

12. (B) La funzione y = x² + 2 rappresentata in figura non è suriettiva in ℝ, è possibile renderla suriettiva?

[Sì, basta restringere il codominio all’intervallo [2; ∞).]

13. (A) Come si fa a stabilire algebricamente (senza l’aiuto di un grafico) se una funzione, per esempio y = $\frac{1}{3}x$ − 5, è suriettiva?

14. (B) Algebricamente (senza l’aiuto del grafico), perché y = x² + 2 non è una funzione suriettiva?

[Perché risolvendo l’equazione rispetto a x si ottiene x = $\pm \sqrt{y-2}$, ma non esiste per ogni valore di y almeno un valore di x che soddisfa l’equazione. Infatti y deve essere maggiore o uguale a 2, se invece y < 2, non esiste una x che soddisfa l’equazione (l’equazione è impossibile).]

3. FUNZIONI BIIETTIVE

15. (A) Quand’è che una funzione da A a B è biiettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.]

16. (A) In termini di grafici sagittali (costituiti da insiemi e frecce), come si può rappresentare una funzione biiettiva da A a B?

[A ogni elemento di B arriva una sola freccia da un elemento di A e da tutti gli elementi di A parte una e una sola freccia. Esempio: se A è l’insieme degli Stati europei e B è l’insieme delle capitali europee, la funzione f: “y è la capitale di x” è una funzione biiettiva perché ad ogni capitale (immagine) associa uno e un solo Stato (controimmagine).]

17. (A) Come viene anche detta una funzione biiettiva?

[Corrispondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno.]

18. (A) Come si indica una corrispondenza biunivoca (funzione biunivoca) in simboli?

[f: A ↔︎ B.]

19. (B) Osserva i due grafici, quale delle due funzioni è biunivoca?

[y = f(x). Infatti nel caso di y = f(x), ogni valore y è immagine di uno e un solo valore x (per esempio y₁ è immagine di x₁); mentre nel caso di y = g(x), uno stesso valore y può essere immagine di più valori di x (per esempio y₁ è immagine di x₁, x₂, x₃).]

20. (B) Una funzione biiettiva può essere definita come una funzione sia iniettiva che suriettiva?

[Sì. Infatti dire che una funzione da A a B è biiettiva quando ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A equivale a dire che una funzione da A a B è biiettiva quando ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A e, allo stesso tempo, ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Quindi l’insieme delle funzioni biiettive è l’intersezione dell’insieme delle funzioni iniettive e suriettive.]