1.11 FUNZIONI CRESCENTI DECRESCENTI E MONOTÒNE

1. (B) Immaginiamo che un punto mobile percorra il grafico di una funzione; quand’è che la funzione può dirsi crescente?

[Quando il punto mobile, percorrendo il grafico da sinistra verso destra, sale. La funzione, invece, si dice decrescente quando il punto mobile percorrendo il grafico da sinistra verso destra scende. Una volta capito questo, possiamo passare a dare delle definizioni più rigorose di funzione crescente e decrescente.]

1. FUNZIONE CRESCENTE IN SENSO STRETTO

2. (A) Quand’è che una funzione y = f(x) di dominio D è una funzione crescente in senso stretto (o funzione strettamente crescente)?

[Quando, presi due punti x₁ e x₂ in un intervallo I che è un sottoinsieme di D, con x₁ < x₂, allora f(x₁) < f(x₂). L’insieme I può coincidere con il dominio della funzione oppure essere un suo sottoinsieme proprio. Per capirsi, se l’ascissa x₁ di un punto A del grafico della funzione nell’intervallo I è minore dell’ascissa x₂ di un punto B di quello stesso grafico in quello stesso intervallo, allora anche l’ordinata y₁ di A è minore dell’ordinata y₂ di B, infatti con f(x₁) ci si riferisce all’ordinata corrispondente a x₁; e con f(x₂) ci si riferisce all’ordinata corrispondente a x₂.]

3. (A) Come si può formulare in simboli la definizione di funzione crescente in senso stretto?

[$\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂).]

4. (A) Analizziamo la definizione di funzione crescente in senso stretto: che cosa significa in termini grafici e in termini algebrici che, presi due punti x₁ e x₂ in un intervallo I che è un sottoinsieme di D, con x₁ < x₂, allora f(x₁) < f(x₂)?

[In termini grafici significa che, se nel tratto I della curva che rappresenta la funzione ci si sposta da sinistra verso destra, allora si sale dal basso verso l’alto; in termini algebrici, significa che, all’aumentare del valore delle x, aumenta anche il valore delle y.]

5. (B) La funzione y = x² − 3 è crescente?

[Lo è nell’intervallo I = $[\mathbf{0};+\infty [$, cioè è crescente a partire dal punto P(0; −3) e per tutti gli infiniti punti che hanno l’ascissa positiva, ovvero, nel grafico, i punti a destra del punto P(0; −3).]

2. FUNZIONE CRESCENTE IN SENSO LATO

6. (A) Che cos’è una funzione crescente in senso lato?

[Una funzione che in alcuni tratti è crescente e in altri non cresce ma neppure decresce (la curva del grafico rimane piatta). Esempio: y = f(x) = $\{\begin{array}{ll}2x-2& \text{se }x\le 3\\ 4& \text{se }3<x<8\\ x-4& \text{se }x\ge 8\end{array}$.]

7. (A) Come viene anche detta una funzione crescente in senso lato?

[Funzione non decrescente. È quindi una funzione che, per il tratto considerato, non diminuisce anche quando non cresce.]

8. (A) Se, come abbiamo visto la definizione di funzione crescente in senso stretto è $\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂), com’è la definizione formale di funzione crescente in senso lato?

[$\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) ≤ f(x₂). Abbiamo sostituito il segno < con il segno ≤ tra f(x₁) e f(x₂).]

3. FUNZIONE DECRESCENTE IN SENSO STRETTO

9. (A) Quand’è che una funzione y = f(x) di dominio D è una funzione decrescente in senso stretto (o funzione strettamente decrescente)?

[Quando, presi due punti x₁ e x₂ in un intervallo I che è un sottoinsieme di D, con x₁ < x₂, allora f(x₁) > f(x₂). L’insieme I può coincidere con il dominio della funzione o essere un suo sottoinsiemi proprio. Per capirsi, se l’ascissa x₁ di un punto A del grafico della funzione nell’intervallo I è minore dell’ascissa x₂ di un punto B di quello stesso grafico in quello stesso intervallo, allora l’ordinata y₁ di A è maggiore dell’ordinata y₂ di B, infatti con f(x₁) ci si riferisce all’ordinata corrispondente a x₁; e con f(x₂) ci si riferisce all’ordinata corrispondente a x₂.]

10. (A) Come si può formulare in simboli la definizione di funzione decrescente in senso stretto?

[$\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂).]

11. (B) Analizziamo la definizione di funzione decrescente in senso stretto: che cosa significa in termini grafici e in termini algebrici che, presi due punti x₁ e x₂ in un intervallo I che è un sottoinsieme di D, con x₁ < x₂, allora f(x₁) > f(x₂)?

[In termini grafici significa che, se nel tratto I della curva che rappresenta la funzione ci si sposta da sinistra verso destra, allora si scende dall’alto verso il basso; in termini algebrici, significa che, all’aumentare del valore delle x, il valore delle y corrispondente diminuisce.]

12. (C) La funzione y = −x² + 5 è decrescente?

[Lo è nell’intervallo I = $[0;+\infty [$, cioè è decrescente a partire dal punto P(0; 5) e per tutti gli infiniti punti che hanno l’ascissa positiva, ovvero, nel grafico, i punti a destra del punto P(0; 5).]

4. FUNZIONE DECRESCENTE IN SENSO LATO

13. (A) A livello intuitivo, che cos’è una funzione decrescente in senso lato?

[Una funzione che in alcuni tratti è decrescente e in altri non decresce ma neppure cresce (la curva del grafico rimane piatta).]

14. (A) Come viene anche detta una funzione decrescente in senso lato?

[Funzione non crescente. È quindi una funzione che, per il tratto considerato, non cresce anche quando non decresce.]

15. (A) Se, come abbiamo visto, la definizione di funzione decrescente in senso stretto è $\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂), com’è la definizione di funzione decrescente in senso lato?

[$\mathbf{\forall }$x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ → f(x₁) ≥ f(x₂). Abbiamo sostituito il segno > con il segno ≥ tra f(x₁) e f(x₂).]

5. FUNZIONI MONOTÒNE

16. (A) Che cos’è una funzione monotòna?

[È una funzione che è sempre crescente o sempre decrescente per tutto il suo andamento, cioè per tutto il suo dominio. Quindi una funzione monotona può essere monotona in senso stretto o monotona in senso lato. Attenzione: l’accento dell’aggettivo “monotona” riferita a una funzione cade sulla terza “o” e non sulla seconda, come invece nella parola “monotono” del linguaggio ordinario.]

17. (B) Che cos’è una funzione monotòna in senso stretto?

[Una funzione che è crescente in senso stretto per tutto il suo dominio (la curva che la rappresenta cresce sempre per tutto il suo andamento anche se magari in maniera non costante) oppure una funzione che è decrescente in senso stretto per tutto suo dominio (la curva che la rappresenta decresce sempre per tutto il suo andamento anche se magari in maniera non costante).]

18. (B) Che cos’è una funzione monotòna in senso lato?

[Una funzione che è crescente in senso lato per tutto il suo dominio (la curva che la rappresenta cresce o non decresce per tutto il suo andamento) oppure una funzione che decrescente in senso lato per tutto suo dominio (la curva che la rappresenta decresce o comunque non cresce per tutto il suo andamento).]

19. (A) Una funzione costante è una funzione monotòna?

[Sì, una funzione costante è monotona in senso lato, ma non in senso stretto. Infatti, se f(x) = k, per qualsiasi x₁ < x₂ si ha f(x₁) = f(x₂); sono quindi verificate sia la condizione f(x₁) ≤ f(x₂) della funzione crescente in senso lato, sia la condizione f(x₁) ≥ f(x₂) della funzione decrescente in senso lato. La funzione costante non è invece monotona in senso stretto, perché non si verifica né f(x₁) < f(x₂) né f(x₁) > f(x₂). Da un punto di vista grafico, una funzione costante è rappresentata da una retta parallela all’asse x, passante per il punto k dell’asse y.]