1.13 FUNZIONI COMPOSTE

Questo argomento è già stato in parte affrontato nel capitolo “Funzione inversa e funzione composta” della lezione “Funzioni” di Algebra I.

1. (A) Date le funzioni f: A → B e g: B → C, che cos’è la funzione composta di f e g?

[È la funzione che associa ad ogni elemento di A un elemento di C. Esempio: se A è l’insieme delle città del mondo, B l’insieme degli Stati, C l’insieme dei continenti e f: A → B è la funzione che associa ad ogni città il suo Stato, g: B → C è la funzione che associa a ogni Stato il suo continente, allora la funzione composta di f e g è la funzione che associa ad ogni città il suo continente.]

2. (A) Come si indica la funzione composta di f e g?

[g ∘ f e si legge “g composto f”. Attenzione: l’ordine con cui f e g si scrivono è l’inverso dell’ordine con cui si applicano! Questo perché, per ottenere la funzione composta di g ∘ f, prima si applica f, poi si applica g.]

3. (A) Come si può definire la funzione composta di f e g in termini simbolici?

[(g ∘ f)(x) = g(f(x)) (il primo membro si legge: g composto f di x; il secondo membro si legge: g di f di x).]

4. (B) Date le funzioni f(x) = x – 2 e g(x) = $\frac{1}{x}$, qual è la funzione composta di f e g, cioè la funzione composta g ∘ f (g composto f)?

5. (B) Date le funzioni f(x) = x – 2 e g(x) = $\frac{1}{x}$, com’è la funzione composta f ∘ g (f composto g)?

6. (B) La composizione delle funzioni f e g è un’operazione commutativa?

[No: g ∘ f ≠ f ∘ g. Esempio: (g ∘ f)(x)= $\frac{1}{x-2}$ ≠ (f ∘ g)(x) = $\frac{1-2x}{x}$.]

7. (B) Che cosa si ottiene se si compone una funzione f: A → B con la sua inversa f⁻¹: B → A?

[La funzione identità: componendo f e f⁻¹, ogni elemento torna a se stesso.]

8. (B) Che cos’è la funzione identità?

[Una funzione che ad ogni elemento x di un insieme associa se stesso.]