1.2 SISTEMI DI EQUAZIONI

1. DEFINIZIONE

1. (A) Che cos’è un sistema di equazioni?

[È un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, cioè i valori da attribuire alle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema stesso.]

2. (A) Come si scrivono le equazioni di un sistema di equazioni?

[In colonna racchiuse da una parentesi graffa.

Esempio: $\{\begin{array}{c}3x-7y+4=2\\ 2x-y=9\end{array}$.]

3. (C) Qual è la soluzione del seguente sistema: $\{\begin{array}{c}3x-y=1\\ x+y-4=3\end{array}$?

[La coppia ordinata (2; 5). Infatti, se sostituiamo 2 alla x e 5 alla y, verifichiamo contemporaneamente entrambe le equazioni del sistema.]

4. (A) Quante soluzioni può avere un sistema di equazioni?

[Nessuna, un numero finito di soluzioni o infinite soluzioni.]

5. (A) Quand’è che un sistema di equazioni è detto intero?

[Quando tutte le equazioni del sistema sono intere.

Esempio: $\{\begin{array}{c}x+2y-2=\frac{2}{7}\\ -8x-y+4=10\end{array}$.]

6. (A) Quand’è che un sistema di equazioni è detto fratto o frazionario?

[Quando almeno un’equazione è frazionaria.

Esempio: $\{\begin{array}{c}-9x+y-4=7\\ \frac{5}{x}+3y-1=1\end{array}$.]

2. GRADO

7. (A) Che cos’è il grado di un sistema di equazioni?

[Il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

Esempio 1: il seguente sistema $\{\begin{array}{c}x+3y=0\\ 2x-2y=1\end{array}$ è di primo grado perché entrambe le equazioni sono di primo grado e $1\times 1=1$.

Esempio 2: il seguente sistema $\{\begin{array}{c}{x}^2+3y^2=3\\ 2x^2+y^2=0\end{array}$ è di quarto grado perché entrambe le equazioni sono di secondo grado e $2\times 2=4$.]

8. (A) Com’è anche detto un sistema di equazioni di primo grado?

[Sistema lineare. Un sistema lineare è un sistema in cui tutte le equazioni sono di primo grado.]

3. FORMA NORMALE

9. (A) Qual è la forma normale di un sistema lineare di due equazioni in due incognite?

[$\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$.]

10. (A) Dato il seguente sistema in forma normale $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$, come sono detti, rispettivamente, a, b, a′, b′, da una parte, e c e c′, dall’altra?

[a, b, a′, b′ coefficienti delle incognite; c e c′ termini noti.]

4. PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

11. (A) Quand’è che due sistemi sono detti equivalenti?

[Quando hanno lo stesso insieme di soluzioni.]

12. (A) Che cosa afferma il principio di equivalenza tra sistemi?

[Se a un’equazione di un sistema se ne sostituisce un’altra a essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello di partenza.

Esempio: $\{\begin{array}{c}2x+3y=9\\ x-y=2\end{array}$ è equivalente a $\{\begin{array}{c}8x+12y=36\\ x-y=2\end{array}$. Infatti entrambi i sistemi hanno come soluzione la coppia (3; 1). Il secondo sistema è stato ottenuto dal primo moltiplicando per 4 i coefficienti della prima equazione, mentre la seconda equazione è rimasta invariata.]