1.3 METODO DI SOSTITUZIONE

1. (B) Come si fa a risolvere un sistema di equazioni?

[Esistono vari metodi, validi sia per sistemi lineari che per sistemi non lineari; prima però di applicare uno dei metodi bisogna ridurre il sistema in forma normale.]

2. (A) Su quale principio si basa il metodo di sostituzione per risolvere un sistema di equazioni?

[Sul principio di sostituzione.]

3. (A) Che cosa afferma il principio di sostituzione?

[Se in un sistema ricaviamo una delle incognite in una delle equazioni e sostituiamo l’espressione così ottenuta nelle altre equazioni, otteniamo un sistema equivalente a quello dato.

Esempio: $\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=8\end{array}$ nella seconda equazione esprimiamo x in funzione di y risolvendo tale equazione rispetto all’incognita: $x=8-y$ (che si ottiene trasportando al secondo membro la y dell’equazione $x+y=8$). Poi sostituiamo x nella prima equazione con l’espressione così ottenuta e otteniamo un sistema equivalente a quello dato: $\{\begin{array}{c}2(8-y)-y=1\\ x=8-y\end{array}$. Infatti, come vedremo, entrambi i sistemi hanno la stessa soluzione.]

4. (A) Secondo il metodo di sostituzione, dopo che abbiamo applicato il principio di sostituzione a un sistema, come dobbiamo procedere per risolvere tale sistema?

[Dobbiamo risolvere l’equazione risolvente.]

5. (A) Che cos’è l’equazione risolvente di un sistema?

[L’equazione in una sola incognita che abbiamo ottenuto applicando il metodo di sostituzione.

Esempio: per riprendere l’esempio precedente, l’equazione risolvente è: $2(8-y)-y=1$ (c’è un’incognita sola: y).]

6. (A) Qual è la soluzione dell’equazione risolvente $2(8-y)-y=1$?

[y = 5. Ecco i vari passaggi: $2(8-y)-y=1\to 16-2y-y=1\to -2y-y=-16+1\to -3y=-15\to \frac{-3y}{-3}=\frac{-15}{-3}\to y=5$.]

7. (A) Una volta risolta l’equazione risolvente, come dobbiamo procedere?

[Dobbiamo ricavare l’altra incognita (nel nostro caso x), sostituendo y con 5 nell’equazione $x=8-y$. Otteniamo quindi il valore di x: $x=8-y\to x=8-5\to x=3$.]

8. (A) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=8\end{array}$ (soluzione che abbiamo ricavato con il metodo della sostituzione)?

[(3; 5).]