1.4 SISTEMI DETERMINATI, IMPOSSIBILI, INDETERMINATI

1. (A) In base alle soluzioni, come possono essere i sistemi di equazioni?

[Determinati, indeterminati o impossibili.]

1. SISTEMI DETERMINATI

2. (A) Quand’è che un sistema di equazioni viene detto determinato?

[Quando ha un numero finito di soluzioni.]

3. (A) I sistemi lineari determinati quante soluzioni hanno?

[Una sola.

Esempio: il sistema $\{\begin{array}{c}2x-3y=7\\ 3x+y=13\end{array}$ ha una sola soluzione: la coppia ordinata (7; 13).]

4. (A) Dato un sistema di equazioni scritto in forma normale $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$, c’è un modo per stabilire se esso è determinato, senza doverlo risolvere (senza cioè dover trovare la soluzione)?

[Sì, quando il rapporto tra i coefficienti di x (a e a′) è diverso dal rapporto tra i coefficienti di y (b e b′): $\frac{a}{a^{\prime }}\ne \frac{b}{b^{\prime }}$.]

5. (B) La condizione affinché un sistema di equazioni scritto in forma normale possa dirsi determinato in quale modo può essere espressa oltre che così: $\frac{a}{a^{\prime }}\ne \frac{b}{b^{\prime }}$?

[$a{b}^{\prime }\ne a^{\prime }b$ oppure $a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\ne 0$. Ecco i passaggi: $\frac{a}{a^{\prime }}\ne \frac{b}{b^{\prime }}\to a^{\prime }\cdot \frac{a}{a^{\prime }}\ne \frac{b}{b^{\prime }}\cdot a^{\prime }\to a\ne \frac{a^{\prime }b}{b^{\prime }}\to b^{\prime }\cdot a\ne \frac{a^{\prime }b}{b^{\prime }}\cdot b^{\prime }\to \to a{b}^{\prime }\ne a^{\prime }b\to a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\ne 0$ (abbiamo applicato la legge del trasporto alla disequazione precedente).]

2. SISTEMI IMPOSSIBILI

6. (A) Quand’è che un sistema di equazioni viene detto impossibile?

[Quando non ammette soluzioni.

Esempio: proviamo a risolvere il sistema $\{\begin{array}{c}2x-3y=4\\ 2x-3y=5\end{array}$ usando il metodo di sostituzione. $\{\begin{array}{c}2x-3y=4\\ 2x-3y=5\end{array}\to 2x-3y=4\to 2x=4+3y\to \frac{2}{2}x=\frac{4+3y}{2}\to x=\frac{4+3y}{2}$

$\{\begin{array}{c}x=\frac{4+3y}{2}\\ 2\left(\frac{4+3y}{2}\right)-3y=5\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{4+3y}{2}\\ 4+3y-3y=5\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{4+3y}{2}\\ 3y-3y=-4+5\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{4+3y}{2}\\ 0y=1\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{4+3y}{2}\\ 0=1\end{array}$.]

7. (A) Dato un sistema di equazioni scritto in forma normale $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$, c’è un modo per stabilire se esso è impossibile, senza doverlo risolvere (senza cioè dover trovare la soluzione)?

[Sì, quando il rapporto tra i coefficienti di x (a e a′) è uguale al rapporto tra i coefficienti di y (b e b′) e tale rapporto è diverso dal rapporto tra i termini noti (c e c′): $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$.

Esempio: come abbiamo visto sopra, il sistema $\{\begin{array}{c}2x-3y=4\\ 2x-3y=5\end{array}$ è impossibile. Senza risolverlo, si può vedere che il sistema è impossibile così: $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}\ne \frac{4}{5}$, cioè il rapporto tra il coefficiente di x nella prima equazione e il coefficiente di x nella seconda equazione è uguale al rapporto tra il coefficiente di y nella prima equazione e il coefficiente di y nella seconda equazione ($\frac{2}{2}=\frac{3}{3}\to 1=1$) , ed è diverso dal rapporto tra il termine noto della prima equazione del termine noto della seconda equazione ($1=1\ne \frac{4}{5}$).]

8. (B) La condizione perché un sistema di equazioni scritto in forma normale possa dirsi impossibile in quale modo può essere espressa, oltre che così: $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$?

[ab′ − a′b = 0 e b′c − bc′ ≠ 0.]

3. SISTEMI INDETERMINATI

9. (A) Quand’è che un sistema di equazioni viene detto indeterminato?

[Quando ha infinite soluzioni.

Esempio: risolviamo il sistema $\{\begin{array}{c}4x-3y=1\\ 12x-9y=3\end{array}$ usando il metodo di sostituzione. $\{\begin{array}{c}x=\frac{1+3y}{4}\\ 12\left(\frac{1+3y}{4}\right)-9y=3\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{1+3y}{4}\\ 3+9y-9y=3\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{1+3y}{4}\\ +9y-9y=-3+3\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=\frac{1+3y}{4}\\ 0\cdot y=0\end{array}$. L’equazione $0\cdot y=0$ è indeterminata perché possiamo attribuire a y qualsiasi valore e, sostituendo y con qualsiasi valore nell’equazione $x=\frac{1+3y}{4}$, otteniamo infinite soluzioni.]

10. (A) Dato un sistema di equazioni scritto in forma normale $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$, c’è un modo per stabilire se esso è indeterminato, senza doverlo risolvere (senza cioè dover trovare la soluzione)?

[Sì, quando il rapporto tra i coefficienti di x (a e a′) è uguale al rapporto tra i coefficienti di y (b e b′) e al rapporto tra i termini noti (c e c′): $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}$.

Esempio: come abbiamo visto sopra, il sistema $\{\begin{array}{c}4x-3y=1\\ 12x-9y=3\end{array}$ è indeterminato. Senza dover tentare di risolvere il sistema, si può vedere che è indeterminato così: $\frac{4}{12}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.]

11. (B) La condizione perché un sistema di equazioni scritto in forma normale possa dirsi indeterminato in quale modo può essere espressa, oltre che così: $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}$?

[ab′ − a′b = 0 e b′c − bc′ = 0.]