1.3 LO 0 E L’1 NELLE QUATTRO OPERAZIONI ELEMENTARI IN ℕ

1. LO 0 E L’ADDIZIONE

1. (A) Com’è la somma dell’addizione di un numero con zero?

[È sempre uguale al numero stesso, indipendentemente dal fatto che si tratti del primo addendo o del secondo.

Esempi: 5 + 0 = 5; 0 + 3 = 3.]

2. (B) Come viene definito lo zero per il fatto che, se viene addizionato a un numero n, dà come somma il numero n stesso?

[Elemento neutro dell’addizione.]

3. (B) In quali casi la somma di due numeri naturali è 0?

[Solo quando entrambi gli addendi sono 0.

Esempio: 0 + 0 = 0.]

2. LO 0 E LA SOTTRAZIONE

4. (A) Qual è la differenza tra due numeri naturali quando il sottraendo è uguale a 0?

[È uguale al minuendo.

Esempio: 5 − 0 = 5.]

5. (A) Qual è la differenza tra due numeri naturali quando il minuendo è uguale a 0?

[Non esiste un risultato in ℕ (insieme dei numeri naturali).

Esempio: la sottrazione 0 − 4 è impossibile in ℕ.]

6. (B) Perché non esiste, nell’insieme ℕ dei numeri naturali, il risultato di una sottrazione in cui il minuendo è uguale a 0, per esempio 0 − 4?

[Perché non esiste un numero naturale che, sommato al sottraendo (4), dia come somma 0 (il minuendo). Il presupposto di questo ragionamento è che la sottrazione viene definita come l’operazione inversa all’addizione.]

3. LO 0 E LA MOLTIPLICAZIONE

7. (A) Qual è il prodotto di una moltiplicazione in cui uno dei fattori è 0?

[0, indipendentemente da quale dei due fattori è 0.]

8. (B) Per il fatto che quando un fattore di una moltiplicazione è 0 anche il prodotto è 0, come viene definito lo zero rispetto alla moltiplicazione?

[Elemento assorbente della moltiplicazione.]

9. (B) Se il prodotto di una moltiplicazione è 0, come sono i suoi fattori?

[Almeno uno dei fattori deve essere 0.]

10. (A) Che cosa afferma la legge di annullamento del prodotto?

[Il prodotto di due fattori è 0 se e solo se almeno uno dei due fattori è 0. L’espressione “se e solo se” indica che la condizione che almeno uno dei due fattori sia 0 è una condizione necessaria e sufficiente.]

4. LO 0 E LA DIVISIONE

11. (A) Qual è il quoziente di una divisione se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0?

[È 0.

Esempi: 0 : 4 = 0; 0 : 7 = 0; 0 : 18 = 0.]

12. (B) Perché se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0, il quoziente è 0?

[Perché il prodotto di 0 (quoziente) per un numero diverso da 0 (divisore) è 0 (dividendo), come afferma la legge di annullamento del prodotto.

Esempio: 0 : 4 = 0 perché 0 × 4 = 0; 0 : 7 = 0 perché 0 × 7 = 0.]

13. (A) Qual è il quoziente di una divisione se il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a 0?

[La divisione non è possibile (non ha significato), quindi non c’è alcun quoziente.

Esempio: 4 : 0 è una divisione impossibile.]

14. (B) Perché se il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a 0, la divisione è impossibile?

[Perché, per la legge di annullamento del prodotto, non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia come prodotto un numero diverso da zero.

Esempio: 4 : 0 è una divisione impossibile perché non esiste alcun numero che, moltiplicato per 0, dia come risultato 4.]

15. (B) Qual è il quoziente di una divisione se sia il dividendo che il divisore sono uguali a 0 (cioè 0 : 0)?

[L’operazione è indeterminata, cioè qualsiasi numero può essere il quoziente di questa divisione.]

16. (C) Perché, se sia il dividendo che il divisore sono uguali a 0 la divisione è indeterminata?

[Perché, essendo la divisione l’inverso della moltiplicazione, qualsiasi numero moltiplicato per il divisore 0 dà come prodotto il dividendo 0.

Esempio: 0 : 0 = qualsiasi numero, perché qualsiasi numero naturale moltiplicato per 0 dà come prodotto 0.]

5. L’1 E LA MOLTIPLICAZIONE

17. (A) Qual è il prodotto di una moltiplicazione che ha come fattori 1 e un numero naturale diverso da 1?

[Il fattore diverso da 1, indipendentemente dal fatto che tale fattore sia il primo o il secondo.

Esempi: 3 × 1 = 3; 1 × 3 = 3; 8 × 1 = 8; 1 × 8 = 8.]

18. (B) Come viene definito l’1 rispetto alla moltiplicazione?

[L’elemento neutro della moltiplicazione, proprio perché il prodotto di un fattore diverso da 1, moltiplicato per 1, è uguale al fattore diverso da 1.

Attenzione: è da notare che, mentre l’elemento neutro della moltiplicazione è 1, l’elemento neutro dell’addizione, come abbiamo visto, è 0.]

6. L’1 E LA DIVISIONE

19. (A) Qual è il quoziente di una divisione in cui il dividendo è diverso da 1 e il divisore è 1?

[Coincide con il dividendo.

Esempio 1: 13 : 1 = 13.

Esempio 2: 8 : 1 = 8.]

20. (B) Perché, se il dividendo è diverso da 1 e il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo?

[Perché il quoziente, moltiplicato per il divisore, è uguale al dividendo.

Esempio: 13 : 1 = 13 perché 13 × 1 = 13.]

21. (A) Se il quoziente di una divisione è 1, come sono il dividendo e il divisore?

[Sono uguali.

Esempio: 5 : 5 = 1.]

22. (B) Perché, se il quoziente di una divisione è 1, il dividendo e il divisore sono uguali?

[Perché 1 moltiplicato per un numero n, dà come prodotto il numero n.

Esempio: 5 : 5 = 1, perché 1 × 5 = 5.]