1.4 PROPRIETÀ DELLE QUATTRO OPERAZIONI IN ℕ

1. (A) Quali sono proprietà formali possono avere le quattro operazioni elementari in ℕ?

1. PROPRIETÀ COMMUTATIVA

2. (A) Quali delle quattro operazioni elementari godono della proprietà commutativa?

[L’addizione e la moltiplicazione. Invece la sottrazione e la divisione non godono della proprietà commutativa.]

3. (A) Che cosa afferma la proprietà commutativa dell’addizione?

[Se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non cambia. In simboli: a + b = b + a.

Esempio: 3 + 5 = 8 e anche 5 + 3 = 8.]

4. (A) Che cosa afferma la proprietà commutativa della moltiplicazione?

[Se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia. In simboli: a × b = b × a.

Esempio: 2 × 3 = 6 e anche 3 × 2 = 6.]

2. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

5. (A) Quali delle quattro operazioni elementari godono della proprietà associativa?

[L’addizione e la moltiplicazione. Invece la sottrazione e la divisione non godono della proprietà associativa.]

6. (A) Che cosa afferma la proprietà associativa dell’addizione?

[La somma di tre addendi non cambia se si lascia invariato il loro ordine, ma si associano diversamente. In simboli: (a + b) + c = a + (b + c).

Esempio: (5 + 2) + 3 = 10 e, per la proprietà associativa, 5 + (2 + 3) = 10.]

7. (B) Per la proprietà associativa dell’addizione, in una sequenza di addizioni possiamo sostituire due addendi consecutivi con che cosa?

[Con la loro somma senza che il risultato cambi.

Esempio: la sequenza di addizioni 6 + 2 + 3 = 11, sostituendo 2 + 3 con 5, diventa 6 + 5 = 11, oppure, sostituendo 6 + 2 con 8, diventa 8 + 3 = 11. La somma finale, in tutti e tre i casi, è 11.]

8. (A) Che cosa afferma la proprietà associativa della moltiplicazione?

[Il prodotto di tre fattori non cambia se si lascia invariato il loro ordine e si associano diversamente. In simboli: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

Esempio: (3 ⋅ 5) ⋅ 2 = 30 è equivalente a 3 ⋅ (5 ⋅ 2) = 30.]

9. (B) Per la proprietà associativa della moltiplicazione, in una sequenza di moltiplicazioni possiamo sostituire due fattori consecutivi con che cosa?

[Con il loro prodotto senza che il risultato cambi.

Esempio: la sequenza di moltiplicazioni 3 ⋅ 5 ⋅ 2 = 30, sostituendo (3 ⋅ 5) con 15, diventa 15 ⋅ 2 = 30, oppure, sostituendo (5 ⋅ 2) con 10, diventa 3 ⋅ 10 = 30.]

3. PROPRIETÀ DISSOCIATIVA

10. (A) Quali delle quattro operazioni elementari godono della proprietà dissociativa?

[L’addizione e la moltiplicazione. Invece la sottrazione e la divisione non godono della proprietà dissociativa.]

11. (A) Che cosa significa che l’addizione gode della proprietà dissociativa?

[Che la somma di due addendi non varia se si sostituisce uno di essi, o entrambi, con due termini la cui somma è uguale all’addendo stesso. In simboli: a + b = a + (c + d), dove c + d = b.

Esempio: 7 + 3 = 10 è uguale a 5 + 2 + 3 = 10, dove 7 è stato sostituito con 5 + 2.]

12. (C) Per la proprietà dissociativa, come può essere trasformata la seguente addizione: 3 + 1 = 4?

[Può essere trasformata in 1 + 2 + 1 = 4.]

13. (A) Che cosa afferma la proprietà dissociativa della moltiplicazione?

[Che il prodotto di due fattori non varia se si sostituisce uno di essi con altri due il cui prodotto è uguale al fattore sostituito. In simboli: a × b = c × d × b, dove c × d = a.

Esempio: 2 × 12 = 24 per la proprietà dissociativa può diventare 2 × 4 × 3 = 24, dove 4 × 3 ha sostituito il fattore 12 oppure può diventare 2 × 6 × 2 = 24, dove 6 × 2 ha sostituito il loro prodotto 12.]

4. PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

14. (A) Quali delle quattro operazioni elementari godono della proprietà distributiva?

[La moltiplicazione e la divisione.]

4.1 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

15. (A) La moltiplicazione gode della proprietà distributiva sia rispetto all’addizione che rispetto alla sottrazione?

[Sì, pienamente.]

16. (A) Che cosa significa che la moltiplicazione gode della proprietà distributiva rispetto all’addizione?

[Che, invece di moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare il numero per ognuno degli addendi e addizionare i prodotti ottenuti, senza che il prodotto finale cambi. In simboli: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Esempio: 3 × (4 + 2) = 18, per la proprietà distributiva rispetto all’addizione, equivale a (3 × 4) + (3 × 2) = 18.]

17. (B) La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione vale sia nel caso in cui il fattore da distribuire sia a sinistra che nel caso in cui sia a destra?

[Sì, vale in entrambi i casi dato che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa: a × (b + c) = (a × b) + (a × c), qui il fattore da distribuire (a) è a sinistra; (a + b) × c = a × c + b × c, qui il fattore da distribuire (c) è a destra.

Esempio di proprietà distributiva a destra: (3 + 4) × 2 = (3 × 2) + (4 × 2).]

4.2 RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE

18. (B) Dalla formulazione in simboli della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, a × (b + c) = a × b + a × c, quale regola si può ricavare?

[La regola del raccoglimento a fattore comune.]

19. (A) Che cosa afferma la regola del raccoglimento a fattore comune?

[La somma di due prodotti che hanno un fattore comune equivale al prodotto di tale fattore comune per la somma degli altri termini: a × b + a × c = a × (b + c).

Esempio: (3 × 4) + (3 × 2) = 3 × (4 + 2).]

20. (A) Che cosa significa che la moltiplicazione gode della proprietà distributiva rispetto alla sottrazione?

[Che, invece di moltiplicare un numero per una differenza, si può moltiplicare il numero per ogni termine della sottrazione e poi fare la sottrazione dei prodotti ottenuti, senza che il risultato cambi. In simboli: a × (b − c) = a × b − a × c.

Esempio: 3 × (6 − 2) = 12, per la proprietà distributiva rispetto alla sottrazione, equivale a (3 × 6) − (3 × 2) = 12.]

4.3 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA DIVISIONE

21. (A) La divisione gode della proprietà distributiva sia rispetto all’addizione che rispetto alla sottrazione?

[Sì, sia della proprietà distributiva rispetto all’addizione che della proprietà distributiva rispetto alla sottrazione, ma in entrambi i casi solo a destra, cioè, in entrambi i casi, può essere distribuito solo il divisore, non anche il dividendo. Naturalmente ciò vale solo quando tutte le divisioni coinvolte sono definite nell’insieme ℕ, cioè quando ogni quoziente è un numero naturale.]

22. (A) Che cosa afferma la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione?

[Se dobbiamo dividere una somma per un numero, possiamo dividere ciascun addendo per quel numero e sommare i quozienti ottenuti, senza che il risultato finale cambi. In simboli: (a + b) : c = a : c + b : c.

Esempio: (10 + 6) : 2 = (10 : 2) + (6 : 2).]

23. (C) Si può applicare la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione alla seguente divisione: 24 : (4 + 2) = 4?

[No, perché la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione non si può applicare a sinistra, cioè non si può applicare al dividendo. Infatti se proviamo ad applicare tale proprietà otteniamo un risultato diverso (non 4, bensì 18): (24 : 4) + (24 : 2) = 6 + 12 = 18.]

24. (A) Che cosa afferma la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione?

[Se dobbiamo dividere una differenza per un numero, possiamo dividere ciascun termine della sottrazione per quel numero e sottrarre al primo quoziente ottenuto il secondo, senza che il risultato finale cambi.

Esempio: se applichiamo la proprietà distributiva alla seguente divisione (10 − 4) : 2 = 3, otteniamo: (10 : 2) − (4 : 2) = 5 − 2 = 3.]

25. (B) Si può applicare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione alla seguente divisione: 12 : (6 − 4) = 6?

[No, perché la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione non si può applicare a sinistra, non si può cioè applicare al dividendo. Infatti, se proviamo ad applicare tale proprietà a 12 : (6 − 4) = 6, non otteniamo come risultato 6 e neppure un altro numero naturale: 12 : (6 − 4) = (12 : 6) − (12 : 4) = 2 − 3 (essendo il minuendo 2 inferiore al sottraendo 3, la differenza non può essere un numero naturale).]

5. PROPRIETÀ INVARIANTIVA

26. (B) Quali delle quattro operazioni elementari godono della proprietà invariantiva?

[La sottrazione e la divisione.]

1. PROPRIETÀ INVARIANTIVA

27. (A) Come si può formulare la proprietà invariantiva della sottrazione?

[Addizionando o sottraendo a ciascun termine di una sottrazione (minuendo e sottraendo) lo stesso numero, la differenza (il risultato) non cambia. In simboli: a − b = c è uguale a (a + d) − (b + d) = c ed è uguale anche a (a − d) − (b − d) = c.

Esempi: consideriamo 12 − 5 = 7, se sia al minuendo 12 che al sottraendo 5 aggiungiamo 2, il risultato non cambia (rimane 7): (12 + 2) − (5 + 2) = 14 − 7 = 7. Se sia al minuendo 12 che al sottraendo 5 sottraiamo 2, il risultato non cambia (rimane 7): (12 − 2) − (5 − 2) = 10 − 3 = 7.]

28. (A) Se vogliamo rimanere all’interno dell’insieme ℕ dei numeri naturali, affinché la proprietà invariantiva della sottrazione sia valida, quale condizione deve essere rispettata?

[Quella secondo cui il numero che viene sottratto ai due termini della sottrazione deve essere inferiore o uguale al sottraendo.

Esempio: se prendiamo 12 − 5 = 7 e vogliamo applicare la proprietà invariantiva sottraendo ai due termini 6 (che è maggiore del sottraendo 5), abbiamo (12 − 6) − (5 − 6), ma 5 − 6 dà come risultato un numero non naturale (−1).]

5.2 PROPRIETÀ INVARIANTIVA

29. (A) Che cosa significa che la divisione gode della proprietà invariantiva?

[Che, moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una divisione (dividendo e divisore) per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia. In simboli: a : b = (a × c) : (b × c) oppure a : b = (a : c) : (b : c), in entrambi i casi con c ≠ 0.

Esempio: 24 : 4 = 6, per la proprietà invariantiva, può diventare (24 × 2) : (4 × 2) = 48 : 8 = 6 oppure, sempre per la proprietà invariantiva, può diventare (24 : 2) : (4 : 2) = 12 : 2 = 6. Naturalmente ciò vale solo quando tutte le divisioni coinvolte sono definite nell’insieme ℕ, cioè quando ogni quoziente è un numero naturale.]

6. RIEPILOGO

30. (A) Di quali proprietà gode l’addizione?

[Commutativa, associativa, dissociativa.]

31. (A) Di quali proprietà gode la sottrazione?

[Solo invariantiva.]

32. (A) Di quali proprietà gode la moltiplicazione?

[Commutativa, associativa, dissociativa, distributiva (senza restrizioni).]

33. (A) Di quali proprietà gode la divisione?

[Distributiva (rispetto sia all’addizione che alla sottrazione, ma, in entrambi i casi, solo a destra), invariantiva.]