1.5 POTENZE E LORO PROPRIETÀ IN ℕ

1. POTENZE

1. (A) Che cos’è una potenza?

[È una moltiplicazione particolare, in cui tutti i fattori sono uguali.

Esempio: 2 × 2 × 2 × 2 × 2.]

2. (A) Qual è la notazione tipica di una potenza?

[Un numero con affiancato a destra in alto da un numero scritto in carattere più piccolo.

Esempio: $2^5$ che si legge “due alla quinta”.]

3. (A) Come si chiamano, rispettivamente, il numero e il numero che lo affianca in alto a destra, scritto in carattere più piccolo, di una potenza?

[Base ed esponente.

Esempio: la base della potenza $2^5$ è 2, l’esponente è 5.]

4. (A) Che cosa indicano, rispettivamente, la base e l’esponente di una potenza?

[La base indica il fattore che viene moltiplicato per se stesso, l’esponente il numero dei fattori che vengono moltiplicati.

Esempio: $2^5$: il 2, che è la base, indica che il fattore che viene moltiplicato per se stesso è 2; il 5, che è l’esponente, indica che il fattore 2 compare 5 volte nella moltiplicazione. Quindi la potenza $2^5$ equivale alla seguente moltiplicazione: 2 × 2 × 2 × 2 × 2, dove il fattore 2, indicato dalla base della potenza, compare come fattore cinque volte, come indicato dall’esponente 5.]

5. (B) Le potenze con esponente 0 o 1 hanno un significato?

[Sì, nonostante la potenza venga definita come una moltiplicazione e una moltiplicazione implica almeno due fattori, mentre l’esponente 0 indica che non ci sono fattori, e l’esponente 1 indica che il fattore è uno solo.]

6. (B) Che cosa si ottiene se si eleva a 0 un numero naturale diverso da zero: $n^0$ con n ≠ 0?

[1. In simboli: $n^0=1$.

Esempio 1: $3^0=1$.

Esempio 2: $8^0=1$.

Esempio 3: ${15}^0=1$.]

7. (A) Che cosa si ottiene se si eleva a 1 un numero naturale: $n^1$?

[Il numero naturale stesso. In simboli: $n^1=n$.

Esempio 1: $5^1=5$.

Esempio 2: ${10}^1=10$.

Esempio 3: ${22}^1=22$.]

2. PROPRIETÀ DELLE POTENZE

2.1 PRODOTTO DI POTENZE CON BASE UGUALE

8. (A) Qual è il prodotto di potenze che hanno la stessa base (come $3^2\times 3^3$)?

[È una potenza che ha, per base, la stessa base e, per esponente, la somma degli esponenti.

Esempio: $3^2\times 3^3=3^5$. La base è la stessa, ovvero 3, mentre l’esponente è il risultato della somma degli esponenti (2 + 3), ovvero 5. In simboli: $a^m\times a^n=a^{m+n}$. Per capire il perché, basta convertire ciascuna delle due potenze nella corrispondente moltiplicazione: $3^2\times 3^3$ = (3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = $3^5$.]

9. (C) Qual è la potenza equivalente alla seguente moltiplicazione tra potenze: $3^2\times 3^4$?

[$3^6$. La base è rimasta la stessa (3); l’esponente è stato ottenuto sommando gli esponenti di partenza (2 + 4).]

2.2 QUOZIENTE DI POTENZE CON BASE UGUALE

10. (A) Qual è il quoziente di potenze che hanno la stessa base (come $3^5:3^2$)?

[È una potenza che ha, per base, la stessa base e, per esponente, la differenza degli esponenti. In simboli: $a^m:a^n=a^{m-n}$.

Esempio: $3^5:3^2=3^3$. La base è la stessa, ovvero 3, mentre l’esponente è la differenza degli esponenti (5 − 2), ovvero 3. Per capire il perché, basta convertire ciascuna delle due potenze in gioco nella corrispondente moltiplicazione: $3^5:3^2$ = (3 × 3 × 3 × 3 × 3) : (3 × 3) = 243 : 9 = 27. Ma 27 è uguale proprio a $3^3$ (ovvero 3 × 3 × 3).]

11. (C) Qual è il quoziente equivalente alla seguente divisione tra potenze: $9^{20}:9^4$?

[$9^{16}$. La base è rimasta la stessa (9); l’esponente è la differenza tra gli esponenti di partenza (20 − 4), ovvero 16.]

2.3 POTENZA DI POTENZE

12. (A) Che cos’è una potenza di potenze (come per esempio ${\left(7^5\right)}^3$)?

[È una potenza che ha, come base, la stessa base e, come esponente, il prodotto degli esponenti. In simboli: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\times n}$.

Esempio: ${\left(7^5\right)}^3$ equivale a $7^{15}$. La base è rimasta invariata (7), mentre l’esponente (15) è il risultato della moltiplicazione di 5 e 3, i due esponenti di ${\left(7^5\right)}^3$. Per rendersi conto del perché, basta seguire il seguente ragionamento ed estenderlo a tutte le potenze di potenze. Prendiamo ${\left(2^3\right)}^2$. Ciò che è all’interno della parentesi, $2^3$, è la base della potenza che ha per esponente 2: ${\left(2^3\right)}^2$. Ora $2^3$ equivale a 8 (infatti è 2 × 2 × 2). Quindi la nostra potenza di potenza equivale a $8^2$. E $8^2$ è 64. Ma 64 è uguale a $2^6$. Quindi ${\left(2^3\right)}^2=2^6$. Ricapitolando sinteticamente: ${\left(2^3\right)}^2=8^2=64=2^6$.]

13. (C) Qual è la potenza che corrisponde alla seguente potenza di potenza: ${\left(5^3\right)}^3$?

[$5^9$. La base è rimasta invariata (5); mentre l’esponente è il prodotto degli esponenti (3 × 3).]

2.4 PRODOTTO DI POTENZE CON ESPONENTE UGUALE

14. (A) Qual è il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente (come $3^2\times 5^2$)?

[È una potenza che ha, per base, il prodotto delle basi e, per esponente, lo stesso esponente dei due fattori di partenza. In simboli: $a^m\times b^m={(a\times b)}^m$.

Esempio: il prodotto di $3^2\times 5^2$ è ${15}^2$. La base è il prodotto di 3 × 5, ovvero 15; l’esponente è lo stesso delle due potenze iniziali, ovvero 2. Per rendersi conto del perché, basta seguire il seguente ragionamento ed estenderlo a tutte le moltiplicazioni tra potenze: $3^2\times 5^2$ = 9 × 25 = 225, ma 225 equivale a ${15}^2$ (infatti 15 × 15 = 225), dunque $3^2\times 5^2={15}^2$.]

15. (C) Qual è la potenza che corrisponde al seguente prodotto di potenze: $7^4\times 3^4$?

[${21}^4$. La base è il prodotto delle due basi di partenza, mentre l’esponente è lo stesso delle due potenze di partenza.]

2.5 QUOZIENTE DI POTENZE CON ESPONENTE UGUALE

16. (A) Qual è il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente (come $7^5:4^5$)?

[È una potenza che ha, per base, il quoziente delle due basi di partenza e, per esponente, lo stesso esponente delle due potenze di partenza. In simboli: $a^m:b^m={(a:b)}^m$, purché il quoziente tra le due basi sia un numero naturale.

Esempio: il quoziente di $6^2:2^2$ è $3^2$. La base è il quoziente della divisione tra le due basi di partenza (6 : 2), ovvero 3; mentre l’esponente è lo stesso delle due potenze di partenza, ovvero 2. Per rendersi conto del perché, basta seguire il seguente ragionamento ed estenderlo a tutte le divisioni tra potenze: $6^2:2^2$ = 36 : 4 = 9 ma 9 equivale a $3^2$, dunque $6^2:2^2=3^2$.]

17. (C) Qual è la potenza che corrisponde al seguente quoziente di potenze: ${18}^4:3^4$?

[$6^4$. La base è il quoziente delle due basi di partenza, mentre l’esponente è lo stesso delle due potenze di partenza.]