1.6 METODO DI RIDUZIONE

1. (A) Com’è anche detto il metodo di riduzione per risolvere un sistema di equazioni?

[Metodo di addizione e sottrazione.]

2. (A) Il metodo di riduzione per risolvere un sistema di equazioni si fonda sul principio di riduzione; che cosa afferma tale principio?

[Se sommiamo o sottraiamo membro a membro le equazioni di un sistema otteniamo un’equazione che possiamo sostituire a una delle equazioni del sistema di partenza ottenendo un sistema equivalente.

Esempio: sommiamo membro a membro le equazioni del seguente sistema $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ x+3y=10\end{array}$ che, come abbiamo visto nel capitolo precedente, ha come soluzione (4; 2), e otteniamo l’equazione 2x +2y = 12 (vedi la figura sotto).

Sostituiamo l’equazione ottenuta (2x +2y = 12) a una delle due equazioni nel sistema di partenza, per esempio all’equazione x + 3y = 10 e otteniamo il sistema $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ 2x+2y=12\end{array}$. Ebbene, il sistema così ottenuto è equivalente a quello di partenza perché ha la stessa soluzione (4; 2). Per rendercene conto, basta applicare il metodo della sostituzione. Ricaviamo la x nella prima equazione: x = 2 + y. Sostituiamo l’espressione 2 + y alla x nella seconda equazione e facciamo le varie operazioni di semplificazione fino ad ottenere il valore di y: 2(2 + y) + 2y = 12 → 4 + 2y + 2y = 12 → 4y = 12 − 4 → $\frac{4y}{4}=\frac{8}{4}$ → y = 2. Quindi il valore della y è 2 proprio come nel sistema iniziale. Sostituendo 2 a y in una delle due equazioni del sistema $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ 2x+2y=12\end{array}$, otteniamo il valore della x che è 4, proprio come nel sistema iniziale. Per esempio sostituiamo 2 alla y nella prima equazione: x − y = 2 → x − 2 = 2 → x = 2 + 2 → x = 4.]

3. (A) Prendendo come esempio il sistema $\{\begin{array}{c}2x-y=2\\ 4x+3y=10\end{array}$, come si risolve tale sistema con il metodo di riduzione?

[Per prima cosa dobbiamo eliminare una delle due incognite da entrambe le equazioni, per esempio l’incognita y.]

4. (A) Come si fa a eliminare l’incognita y dal sistema $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ x+3y=10\end{array}$?

[Si moltiplicano entrambi i membri della prima equazione per 3 (applichiamo cioè il secondo principio di equivalenza delle equazioni), in modo da ottenere 3y, per poi eliminarlo con una somma algebrica membro a membro tra l’equazione di sopra e quella di sotto del sistema. Vediamo nei dettagli. Moltiplichiamo per 3 entrambi i membri di x − y = 2 e otteniamo: 3x − 3y = 6. A questo punto possiamo fare la somma membro a membro di 3x − 3y = 6 e x + 3y = 10 (applichiamo, cioè, il principio di riduzione).]

5. (A) Qual è la somma membro a membro di 3x − 3y = 6 e x + 3y = 10?

[4x = 16.]

6. (A) Qual è il valore di x sapendo che 4x = 16?

[x = 4. Infatti, 4x = 16 → $\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}$ → x = 4.]

7. (A) Come si fa a trovare il valore di y sapendo che x = 4?

[Basta sostituire 4 alla x in una delle due equazioni del sistema di partenza $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ x+3y=10\end{array}$. Esempio: sostituiamo 4 alla x dell’equazione x − y = 2 e otteniamo il valore di y come possiamo vedere qui di seguito: x − y = 2 → 4 − y = 2 → − y = 2 − 4 → − y = −2 → y = 2.]