1.8 CRITERI DI DIVISIBILITÀ
1. (A) Che cosa sono i criteri di divisibilità di un numero?
[Sono delle regole per stabilire se un numero è divisibile per un altro (con resto zero) senza dover eseguire la divisione.]
1. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 2
2. (A) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 2, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 2 se termina con una cifra pari.
Esempi: 0, 2; 4; 6; 8;… 320….2788…]
3. (C) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 2: 7538; 46281; 279; 8612?
[7538 e 8612, perché terminano con cifre pari (rispettivamente: 8 e 2).]
2. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 3
4. (A) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 3, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 3 se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di 3.
Esempio 1: 111 (perché 1 + 1 + 1 = 3 e 3 è un multiplo di 3).
Esempio 2: 732 (perché 7 + 3 + 2 = 12 e 12 è un multiplo di 3).
Esempio 3: 327 (perché 3 + 2 + 7 = 12 e 12 è un multiplo di 3).
Esempio 4: 3345 (perché 3 + 3 + 4 + 5 = 15 e 15 è un multiplo di 3).]
5. (C) Quali dei seguenti numeri sono divisibili per 3: 7538; 46281; 279; 8612?
[46281 e 279. 46281 perché la somma delle sue cifre (4 + 6 + 2 + 8 + 1) è 21, che è un multiplo di 3 (3 × 7 = 21); 279 perché la somma delle sue cifre (2 + 7 + 9) è 18, che è un multiplo di 3 (3 × 6 = 18).]
3. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 4
6. (B) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 4, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre formano un numero divisibile per 4.
Esempio 1: 256 (perché 56 è divisibile per 4).
Esempio 2: 2380 (perché 80 è divisibile per 4).]
7. (C) Quali dei seguenti numeri sono divisibili per 4: 7538; 46281; 279; 8612?
[Solo 8612, perché la cifra delle decine è un numero dispari e la cifra delle unità è 2.]
4. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 5
8. (A) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 5, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 5 se termina con 5 o con 0. La tabellina del 5 ce ne offre un esempio.
Esempi: 5, 10, 25, 30, 45, 50, 55, 60, 135, 2480…]
9. (C) Quali dei seguenti numeri sono divisibili per 5: 7538; 46281; 279; 8612?
[Nessuno, infatti nessuno di essi termina per 0 o per 5.]
5. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 9
10. (B) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 9, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 9 se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di 9.
Esempi: 81, 900, 909, 999, 2457, 12132, 79218.]
11. (C) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 9: 7538; 46281; 279; 8612?
[Solo 279, infatti solo la somma delle cifre di questo numero è un multiplo di nove (2 + 7 + 9 = 18).]
6. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 10, 100, 1000…
12. (A) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 10, 100, 1000…, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 10 se termina con almeno uno zero, è divisibile per 100 se termina con almeno due zeri, è divisibile per 1000 se termina con almeno tre zeri…
Esempio 1: 90 è divisibile per 10, perché finisce con uno zero.
Esempio 2: 700 è divisibile per 10 e per 100 perché finisce con due zeri.
Esempio 3: 3000 è divisibile per 10, per 100 e per 1000 perché finisce con tre zeri.]
13. (C) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 10 e/o per 100 e/o per 1000: 7500; 46001; 270; 8602?
[7500 è divisibile per 10 e per 100, perché termina con due zeri; 270 è divisibile solo per 10, perché termina con un solo zero; 46001 e 8602 non sono divisibili né per 10 né per 100 né per 1000, perché non terminano con uno o più zeri; nessuno di questi numeri è divisibile per 1000, perché nessuno di essi termina con tre zeri.]
7. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 11
14. (B) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 11 senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto pari e la somma delle sue cifre di posto dispari è un multiplo di 11, compreso lo 0.
Esempio 1: 3564 è divisibile per 11 perché la differenza tra la somma delle sue cifre di posto pari (3 + 6 = 9) e la somma delle sue cifre di posto dispari (5 + 4 = 9) è uguale a 0 (9 − 9 = 0).
Esempio 2: 9086 è divisibile per 11 perché la differenza tra la somma delle sue cifre di posto pari (9 + 8 = 17) e la somma delle sue cifre di posto dispari (0 + 6 = 6) è uguale a 11 (17 − 6 = 11).]
15. (B) Che cosa significa cifra di posto pari e cifra di posto dispari?
[Le cifre di posto dispari e di posto pari di un numero si alternano secondo questo ordine: la prima cifra (a partire da destra) è di posto dispari, la seconda di posto pari, la terza di posto dispari, la quarta di posto pari…, indipendentemente dal fatto che le cifre siano pari o dispari e se il numero intero sia pari o dispari.
Esempio: prendiamo 6538: le cifre di posto dispari sono 8 e 5 (perché occupano la prima e la terza posizione a partire da destra), indipendentemente dal fatto che 8 è un numero pari; le cifre di posto pari sono 3 e 6 (perché occupano la seconda e la quarta posizione a partire da destra), indipendentemente dal fatto che 3 è un numero dispari.]
16. (B) Come si calcola la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari per stabilire se tale numero è divisibile per 11?
[Si calcola la differenza tra la somma maggiore e quella minore, indipendentemente dal fatto che la somma maggiore (o minore) sia costituita dalle cifre di posto pari o di posto dispari.
Esempio 1: nel caso del numero 5172 la somma maggiore è costituita dalle cifre di posto pari (5 + 7 = 12) rispetto a quelle di posto dispari (1 + 2 = 3), quindi la differenza è 12 − 3 = 9.
Esempio 2: nel caso, invece, del numero 2714, la somma maggiore è costituita dalle cifre di posto dispari (7 + 4 = 11) rispetto a quelle di posto pari (2 + 1 = 3), quindi la differenza sarà: 11 − 3 = 8.]
17. (C) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 11: 7205, 95612, 96512?
[7205 e 95612, mentre non lo è 96512. Vediamo perché. Nel caso di 7205 la differenza tra la somma delle cifre di posto pari (7 + 0 = 7) e la somma delle cifre di posto dispari (2 + 5 = 7) è 0 (7 − 7 = 0), che è un multiplo di 11. Nel caso di 95612, la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (9 + 6 + 2 = 17) e la somma delle cifre di posto pari (5 + 1 = 6) è 11 (17 − 6 = 11), che è un multiplo di 11. Nel caso 96512, la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (9 + 5 + 2 = 16) e la somma delle cifre di posto pari (6 + 1 = 7) è 9 (16 − 7 = 9), che non è un multiplo di 11.]
8. CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 25
18. (A) Qual è il criterio per stabilire se un numero naturale è divisibile per 25, senza dover compiere la divisione?
[Un numero naturale è divisibile per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 25, compresi due zeri finali.
Esempi: 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225…]
19. (C) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 25: 2550, 2505, 9600, 9725?
[2550, 9600 e 9725, mentre non lo è 2505, perché nei primi tre casi le ultime due cifre costituiscono un numero multiplo di 25, nel caso di 2505 invece no (05 non è un multiplo di 25).]