10.2 GRADO DI UN POLINOMIO
1. GRADO DI UN POLINOMIO
1. (A) Che cosa si intende per grado di un polinomio ridotto in forma normale?
[Il maggiore dei gradi dei monomi che lo costituiscono.
Esempio: −6ax3 +2ac2 +4b, di questo polinomio il grado è 4, perché il monomio che ha il grado maggiore è −6ax3 che è, appunto, di quarto grado: la somma dei suoi esponenti (1, il grado di a, e 3, il grado di x) è 4.]
2. (C) Qual è il grado del seguente polinomio: 4ab2 +a2b3 −7c4 +2ab2c?
[5, perché il monomio che ha il grado maggiore è +a2b3 che è, appunto, di quinto grado: la somma dei suoi esponenti (2 e 3) è 5.]
3. (A) Che cosa è il termine noto di un polinomio?
[Il termine di grado zero, cioè quello che non contiene variabili. Non è detto, però, che un polinomio contenga uno o più termini noti.
Esempio: del seguente polinomio +ab +7b2c −8 −6a, il termine noto è −8, in quanto è un termine con un coefficiente ma privo di lettere.]
4. (B) Che cos’è il grado di un polinomio rispetto a una lettera?
[È l’esponente maggiore con cui una lettera compare nei vari termini del polinomio.
Esempio: il grado di +6ab +7b2c −5b3 −3a2 rispetto alla lettera a è 2 (perché l’esponente maggiore con cui la lettera a compare nei vari termini è 2); il grado dello stesso polinomio rispetto alla lettera b è 3 (perché l’esponente maggiore con cui la lettera b compare nei vari termini è 3).]
2. POLINOMI ORDINATI, OMOGENEI, COMPLETI
5. (B) Che cosa vuol dire che un polinomio, ridotto in forma normale, è ordinato rispetto a una lettera?
[Che i termini sono disposti in ordine crescente o decrescente rispetto agli esponenti di una lettera.
Esempio 1: +4ab2 −2a2 +7a3x −25y: in questo polinomio i termini sono disposti in modo crescente rispetto alla lettera a.
Esempio 2: +7b4 −ab3 +2a2b2 −3b: in questo polinomio i termini sono disposti in modo decrescente rispetto alla lettera b.]
6. (B) Quand’è che un polinomio è detto omogeneo?
[Quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
Esempio: +3xy4 +2a2b3 −7a3b2 è un polinomio omogeneo perché tutti e tre i termini che lo compongono hanno grado 5 (la somma degli esponenti di ciascun termine è 5).]
7. (B) Quand’è che un polinomio è detto completo rispetto a una lettera?
[Quando nei suoi termini compaiono tutte le potenze di tale lettera: da quella di grado massimo a quella di grado zero.
Esempio: +6ay4 +2a2b3 +9 −7a3b2 è un polinomio completo rispetto alla lettera a perché a partire dal grado maggiore in cui essa compare, che è 3 (−7a3b2), abbiamo il grado 2 (+2a2b3), il grado 1 (+6ay4) e il grado zero (+9).]
8. (C) I seguenti polinomi sono completi rispetto alla x: A: 2x2 + 5xy −5; B: 2x2 + 5xy −5x3?
[2x2 + 5xy −5 è completo rispetto alla variabile x, perché nei tre monomi essa compare con grado 2, 1 e 0; 2x2 + 5xy −5x3, invece, non è completo rispetto alla x perché manca il grado 0.]