10.9 DIVISIONE TRA POLINOMI

1. DIVISIBILITÀ TRA DUE POLINOMI

1. (A) Quand’è che un polinomio A è divisibile per un polinomio B (non nullo)?

[Quando esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A. In simboli: A : B = Q se e solo se Q · B = A. Il polinomio Q è il quoziente della divisione A : B.

Esempio: il polinomio 6x³ − 3x²y + 2x − y è divisibile per il polinomio 3x² +1 perché esiste un polinomio, 2x − y, che, moltiplicato per 3x² + 1, dà come risultato 6x³ − 3x²y + 2x − y.]

2. (A) Com’è il grado di un polinomio quoziente di una divisione tra due polinomi?

[È uguale alla differenza tra il grado del polinomio dividendo e il grado del polinomio divisore.

Esempio: il grado del quoziente 2x − y di (6x³ − 3x²y + 2x − y) : (3x² + 1) è 1, che è la differenza tra il grado 3 del polinomio dividendo (6x³ − 3x²y + 2x − y) e il grado 2 del polinomio divisore (3x² + 1).]

3. (B) La divisione è un’operazione interna all’insieme dei polinomi?

[No, perché quando un polinomio non è divisibile per un altro polinomio, il quoziente della divisione è una frazione algebrica e non un polinomio.

Esempio: a² + 2a non è divisibile per 3a + a³. L’espressione algebrica che moltiplicata per 3a + a³ dà come risultato a² + 2a è $\frac{a^2+2a}{3a+a^3}$.]

2. DIVISIONE CON RESTO TRA DUE POLINOMI

4. (A) Due polinomi in una variabile (che hanno la stessa variabile) A e B, con B non nullo (diverso da zero) e che ha un grado inferiore o uguale a quello di A, sono sempre divisibili?

[Sì, esistono sempre due polinomi Q e R tali che A = Q · B + R, dove Q è il polinomio quoziente e R è il polinomio resto. Quello che abbiamo appena esposto è un teorema, di cui qui non diamo la dimostrazione.]

5. (A) Com’è il resto R della divisione di due polinomi A e B in una variabile, con B non nullo (diverso da zero) e che ha un grado inferiore o uguale a quello di A?

[O è 0 o è un polinomio di grado inferiore al grado di B.]

6. (B) Quando il resto R della divisione di due polinomi A e B in una variabile, con B non nullo (diverso da zero), è 0, che rapporto c’è tra A e B?

[A è divisibile per B, perché A è un multiplo di B. In questo caso A = Q · B senza l’aggiunta di R.]

7. (B) Dati un polinomio dividendo A e un polinomio divisione B, com’è il grado del resto R della divisione di A per B?

[È inferiore sia al grado di A che al grado di B.]

3. L’ALGORITMO PER DIVIDERE DUE POLINOMI CON RESTO

8. (A) Come si calcolano il quoziente e il resto della divisione tra due polinomi A e B (in cui A è il dividendo e B il divisore: A : B)? [

9. (A) Che cos’è un algoritmo?

[È un procedimento che consente di risolvere un tipo di problema con una serie finita di passaggi.]

10. (A) Qual è il primo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A (esempio: 5x² + 3x³ + 8) e B (esempio: x + 1), di cui A ha un grado maggiore o uguale a quello di B: 5x² + 3x³ + 8 : x + 1?

[Ordinare i polinomi secondo le potenze decrescenti di x. Nel nostro caso il polinomio 5x² + 3x³ + 8 viene ordinato così: 3x³ + 5x² + 8 (il termine 3x³ va messo prima di 5x² perché ha una potenza maggiore).]

11. (A) Qual è il secondo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B; per esempio: 3x³ + 5x² + 8 : x + 1?

[Poiché il dividendo deve essere completo, dobbiamo completarlo con un termine avente coefficiente nullo: 3x³ + 5x² + 8 diventa 3x³ + 5x² + 0x + 8 (abbiamo aggiunto 0x, perché mancava la variabile di grado 1).]

12. (A) Qual è il terzo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Dividiamo il termine di grado massimo di A (3x³) per il termine di grado massimo di B (x) e scriviamo il risultato (3x²) nello spazio per il quoziente. 3x² quindi è il primo termine del quoziente della nostra divisione.]

13. (A) Qual è il quarto passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Moltiplichiamo il primo termine del quoziente (3x²) per ciascuno dei termini del divisore (x + 1) e otteniamo 3x³ e 3x²; poi cambiamo di segno ciascuno dei due prodotti ottenuti (da 3x³ passiamo a −3x³ e da 3x² passiamo a −3x²) e li scriviamo sotto i termini del dividendo che hanno lo stesso grado (−3x³ sotto 3x³ e −3x² sotto +5x²).]

14. (A) Qual è il quinto passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Sommiamo in colonna i termini del polinomio A (3x³ + 5x² + 0x + 8) con quelli sottostanti: 3x³ + (−3x³) e +5x² + (−3x²). Invece 0x e +8, non avendo termini sottostanti, li riportiamo così come sono. Quello che otteniamo (0 + 2x² + 0x e +8) è un primo resto parziale (lo 0 iniziale può essere omesso).]

15. (A) Qual è il sesto passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Dividiamo il termine di grado massimo del resto parziale (2x²) per il termine di grado massimo (x) del divisore (x + 1) della nostra divisione. Il quoziente che otteniamo (2x) è un secondo quoziente parziale che va aggiunto al primo quoziente parziale (3x²).]

16. (A) Qual è il settimo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Moltiplichiamo il secondo quoziente parziale (2x) per ciascuno dei termini del divisore (x + 1) e otteniamo 2x² e 2x; poi cambiamo il segno a ciascuno dei due prodotti ottenuti (2x² diventa −2x² e 2x diventa −2x) e li scriviamo in colonna sotto i termini del resto che hanno lo stesso grado (−2x² sotto + 2x² e −2x sotto +0x).]

17. (A) Qual è l’ottavo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Eseguire l’addizione dei termini in colonna: (+2x²) + (−2x²); (0x) + (−2x); (+8) + (0). Quello che otteniamo è un nuovo resto parziale: −2x +8.]

18. (A) Qual è il nono passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Dividiamo il termine di grado massimo del nuovo resto parziale (−2x) per il termine di grado massimo (x) del divisore (x + 1) della nostra divisione. Il quoziente che otteniamo (−2) è un terzo quoziente parziale che va aggiunto ai due precedenti (3x² e 2x).]

19. (A) Qual è il decimo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Moltiplichiamo il terzo quoziente parziale (−2) per ciascuno dei termini del divisore (x + 1) e otteniamo −2x e −2; poi cambiamo il segno a ciascuno dei due prodotti ottenuti (da −2x e −2 a +2x e +2) e li scriviamo in colonna sotto i termini del resto che hanno lo stesso grado (+2x sotto −2x e +2 sotto +8).]

20. (A) Qual è l’undicesimo passo per eseguire una divisione tra due polinomi A e B: 3x³ + 5x² + 0x + 8 : x + 1?

[Eseguire l’addizione dei termini in colonna: (−2x) + (+2x); (+8) + (+2). Otteniamo un solo risultato diverso da zero: +10, che è il resto definitivo della nostra divisione.]

21. (A) Come si fa a sapere che un certo resto di una divisione tra polinomi è il resto definitivo e non un resto parziale?

[Il resto definitivo è di grado inferiore a quello del divisore (abbiamo già imparato che il grado del resto è inferiore a quello del divisore). Nel caso in esame +10 è il resto definitivo della nostra divisione perché è di grado inferiore al divisore x + 1: il divisore, essendo x + 1, ha grado 1, mentre il resto, +10, non avendo la x, ha grado 0.]

22. (C) Qual è il risultato finale della nostra divisione?

[Il quoziente è il polinomio 3x² + 2x − 2; il resto è +10.]

23. (A) Come si fa a verificare se il quoziente (3x² + 2x −2) e il resto (+10) della divisione tra polinomi (3x³ + 5x² + 0x + 8) : (x + 1) sono corretti?

[Basta moltiplicare il quoziente (3x² + 2x −2) per il divisore (x + 1) e sommare al prodotto ottenuto il resto (+10): se il risultato è uguale al dividendo (3x³ + 5x² + 0x + 8) allora la divisione è stata svolta correttamente. In effetti abbiamo: (3x² + 2x −2) · (x + 1) = 3x³ + 3x² + 2x² + 2x −2x −2 = 3x³ + 5x² + 0x −2, che, sommato a +10, fa : 3x³ + 5x² + 0x + 8.]