11.1 SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI: CARATTERI GENERALI

1. (A) Che cosa significa scomporre in fattori un polinomio di grado n?

[Significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi di grado inferiore a n ma superiore a 0.

Esempio: il polinomio di secondo grado $x^2-1$ può essere scomposto in $(x+1)(x-1)$, infatti se moltiplichiamo $(x+1)$ per $(x-1)$, otteniamo $x^2-1$. La scomposizione di un polinomio in fattori è analoga alla scomposizione di un numero in fattori (esempio: 15 è scomponibile nei fattori 5 e 3).]

2. (A) Come può essere anche chiamata la scomposizione di un polinomio in fattori?

[Fattorizzazione del polinomio.]

3. (B) Quand’è che un polinomio è riducibile?

[Quando può essere scomposto in un prodotto di due o più polinomi, tutti di grado inferiore al polinomio di partenza ma superiore a 0.

Esempio: $x^2+4x+3$ è riducibile perché è scomponibile in $(x+3)(x+1)$ ed entrambi i binomi fattori sono di grado 1 mentre il polinomio di partenza è di grado 2.]

4. (B) Tutti i polinomi sono riducibili?

[No, esistono anche polinomi irriducibili, cioè non scomponibili in un prodotto di più polinomi.

Esempio: 2x + 3 non è riducibile perché non esistono fattori di grado inferiore a 1 ma superiore a 0, che danno come prodotto 2x + 3.]

5. (A) C’è una categoria di polinomi sempre irriducibili?

[Sì, tutti i polinomi di primo grado (cioè con la variabile x avente esponente 1 sottinteso).

Esempi: x + 1; 3x + 1; 5x − 2.]

6. (B) Perché tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili?

[Perché non è possibile trasformarli nel prodotto di fattori di grado inferiore a 1 e maggiore di 0.]