10.11 TEOREMA DEL RESTO E TEOREMA DI RUFFINI
1. TEOREMA DEL RESTO
1. (A) Che cosa afferma il teorema del resto?
[Se un polinomio A(x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per un polinomio x − a, per conoscere il resto della divisione basta sostituire in A alla variabile x il valore a (cioè l’opposto del termine noto del divisore). In simboli: R = A(a), dove R sta per resto, A è il polinomio dividendo e a è il valore che è stato sostituito a x in A.
Esempio: esaminando la regola di Ruffini, abbiamo visto che il resto della seguente divisione (2x2 − 8x − 4) : (x − 3) è −10. Proviamo ora a sostituire x nel polinomio 2x2 − 8x − 4 con +3, che è l’opposto del termine noto (−3). Abbiamo: 2x2 − 8x − 4 = 2(3)2 − 8(3) − 4 = 18 − 24 − 4 = −10.]
2. (C) Sulla base del teorema del resto, qual è il resto della seguente divisione tra polinomi: (2x2 − 6x − 3) : (x − 4)?
[+5. Tale resto si ottiene sostituendo alla x +4, che è l’opposto del termine noto del divisore. Infatti: 2(4)2 − 6(4) − 3 = 2(16) − 24 − 3 = 32 − 24 − 3 = 32 − 27 = +5.]
2. TEOREMA DI RUFFINI
3. (A) Che cosa afferma il teorema di Ruffini?
[Un polinomio A(x) è divisibile per un binomio di primo grado x − a se e solo se A(a) è uguale a 0. In altre parole, affinché un polinomio sia divisibile per x − a, a (attenzione: a, non −a) deve essere uno zero del polinomio. In simboli: A(x) è divisibile per x − a ↔ A(a) = 0.
Esempio: A(x) = 2x2 − 6x − 8 è divisibile per x − 4; infatti: A(4) = 2(4)2 − 6(4) − 8 = 32 − 24 − 8 = 32 − 32 = 0.]
4. (B) Qual è il ragionamento che sta dietro al teorema di Ruffini?
- se un polinomio A(x) è divisibile per x − a (cioè se A(x) : x − a dà resto 0), allora A(a) = 0 (per il teorema del resto);
- se alla x di A(x) sostituiamo a e A(a) = 0, allora (per il teorema del resto) A(x) è divisibile per (x − a).
3. DIFFERENZA DI DUE CUBI
5. (B) A che cosa equivale il binomio di terzo grado x3 − a3, dove x è la variabile e a è un parametro reale (ad a si può sostituire qualsiasi numero reale)?
[x3 − a3 = (x − a) ⋅ (x2 + ax + a2).]
6. (C) Perché il binomio x3 − a3 equivale a (x − a) ⋅ (x2 + ax + a2)?
[Perché x3 − a3 è divisibile per x − a e il quoziente di x3 − a3 : x − a è x2 + ax + a2, quindi x3 − a3 può essere scritto come prodotto di x − a per x2 + ax + a2.]
7. (C) Come si fa a sapere che x3 − a3 è divisibile per x − a senza svolgere la divisione?
[Grazie al teorema del resto e al teorema di Ruffini: infatti, per il teorema del resto, se sostituiamo la a di x − a alla x di x3 − a3, otteniamo a3 − a3 = 0, dove 0 rappresenta il resto di x3 − a3 : x − a, ma per il teorema di Ruffini un polinomio A(x) (nel nostro caso x3 − a3) è divisibile per x − a se e solo se A(a) è uguale a 0.]
8. (C) Come si fa a calcolare il quoziente della divisione x3 − a3 : x − a con la regola di Ruffini?
[I due zeri della prima riga sono i coefficienti di x2 e x che sono i due termini che bisogna aggiungere al dividendo x3 − a3 per renderlo completo.]
4. SOMMA DI DUE CUBI
9. (B) A che cosa equivale il binomio di terzo grado x3 + a3, dove x è la variabile e a è un parametro reale (cioè ad a si può sostituire qualsiasi numero reale)?
[x3 + a3 = (x + a) ⋅ (x2 − ax + a2).]
10. (C) A che cosa equivale il binomio di terzo grado x3 + 27?
[Equivale a (x + 3) ⋅ (x2 − 3x + 9). Infatti 27 del binomio di partenza è 33.]