11.2 RACCOGLIMENTO TOTALE E PARZIALE DI POLINOMI

1. RACCOGLIMENTO TOTALE O A FATTORE COMUNE

1. (A) In che cosa consiste il metodo della scomposizione di un polinomio in fattori, detto raccoglimento totale (o raccoglimento a fattore comune)?

[Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune (che può essere anche un numero), allora si può scomporre tale polinomio scrivendo la moltiplicazione di tale fattore comune per ciascuno dei termini del polinomio. In simboli: ab + ac + ad = a(b + c + d).

Esempio: 2xy + 3x + $x^2$, poiché ciascun termine ha un fattore comune (x), il polinomio è scomponibile in due fattori: x(2y + 3 + x). Infatti se si svolge la moltiplicazione di x per (2y + 3 + x), si ottiene il polinomio di partenza: 2xy + 3x + $x^2$.]

2. (B) Che espressione si usa per riferirsi al fatto che nel raccoglimento a fattore comune di un polinomio il fattore comune viene isolato e moltiplicato per gli altri fattori?

[Si dice che il fattore comune viene raccolto o messo in evidenza.

Esempio: nella scomposizione di 2xy + 3x + $x^2$, il fattore comune x viene raccolto (o messo in evidenza) così: x(2y + 3 + x).]

3. (B) Nel raccoglimento a fattore comune di un polinomio, quale proprietà viene applicata?

[La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione “al contrario”.

Esempio: secondo la proprietà distributiva, x(2y + 3) è uguale a 2xy + 3x. Con il raccoglimento a fattore comune, operiamo al contrario: il polinomio 2xy + 3x viene scomposto nei suoi due fattori: x(2y + 3).]

4. (B) Nel raccoglimento a fattore comune (o totale) di un polinomio, qual è il fattore comune che viene raccolto o messo in evidenza?

[Il massimo comune divisore (MCD).

Esempio: se vogliamo scomporre in fattori il seguente polinomio 8$x^2$ + 12xy, dobbiamo individuare il MCD dei due termini, che è 4x, e raccogliere a fattore comune il polinomio stesso: 4x(2x + 3y).]

5. (C) Qual è la scomposizione in fattori del seguente polinomio 12$x^2$ + 24xy + 36x, attraverso il raccoglimento a fattore comune?

[12x (x + 2y +3). Abbiamo prima individuato il MCD dei tre fattori (12x), poi lo abbiamo raccolto (messo in evidenza e moltiplicato per il quoziente della divisione di ciascuno dei tre termini iniziali per esso).]

6. (C) Qual è la scomposizione in fattori del seguente polinomio 2z(x − y) + 3xy(x − y), attraverso il raccoglimento a fattore comune?

[(x − y) (2z + 3xy). Per eseguire tale fattorizzazione, abbiamo raccolto il fattore comune (x − y) dei due termini del polinomio di partenza.]

2. RACCOGLIMENTO PARZIALE

7. (A) In che cosa consiste il metodo della scomposizione in fattori di un polinomio detto “raccoglimento parziale”?

[Quando un polinomio non presenta un fattore comune a tutti i termini, ma ciascun termine ha un fattore comune con almeno un altro termine del polinomio, possiamo fare dei raccoglimenti parziali e poi un raccoglimento totale.

Esempio: ax + ay + bx + by: i termini di questo polinomio non hanno un fattore comune a tutti, però i primi due termini hanno in comune il fattore a e il terzo e il quarto termine hanno in comune il fattore b. Quindi possiamo fare due raccoglimenti parziali: a(x + y) + b(x + y). Grazie a questi raccoglimenti parziali, abbiamo ottenuto un polinomio costituito da due termini che hanno un fattore comune (x + y), quindi possiamo fare il raccoglimento totale (o raccoglimento a fattore comune): (x + y) (a + b).]

8. (C) Qual è la scomposizione in fattori del seguente polinomio: 2xy + 6y + $x^3$ + 3$x^2$?

[(x + 3) (2y + $x^2$). A questo risultato si arriva facendo, prima, un raccoglimento parziale 2y (x + 3) + $x^2$ (x + 3); poi, dato che i due termini di questo nuovo polinomio hanno un fattore in comune (x + 3), si fa un raccoglimento totale: (x + 3) (2y + $x^2$).]