12.1 FRAZIONI ALGEBRICHE: CARATTERI GENERALI

1. DEFINIZIONE DI FUNZIONE ALGEBRICA

1. (A) Che cos’è una frazione algebrica?

[Ogni frazione $\frac{A}{B}$, dove A e B sono due polinomi e B è diverso dal polinomio nullo.

Esempi: $\frac{x+3}{x}$, $\frac{x-5}{x-3}$, $\frac{x^2+7}{2x}$, $\frac{a+b}{a(a-b)}$…]

2. (A) Se $\frac{A}{B}$ è una frazione algebrica, come sono detti A e B?

[Termini della frazione algebrica, e, più precisamente, A è il numeratore e B il denominatore della frazione algebrica.]

2. FRAZIONI ALGEBRICHE E POLINOMI

3. (A) In che rapporto sono l’insieme delle frazioni algebriche e l’insieme dei polinomi?

[L’insieme delle frazioni algebriche è un ampliamento dell’insieme dei polinomi (ogni polinomio infatti può essere considerato come una particolare frazione algebrica avente denominatore uguale a 1).]

4. (B) Perché l’insieme delle frazioni è un ampliamento dell’insieme dei polinomi?

[Perché ogni polinomio può essere considerato come una frazione algebrica che ha al numeratore tale polinomio, e al denominatore 1.

Esempio 1: il polinomio 3x² + 12 è uguale alla frazione algebrica $\frac{3x^2+12}{1}$.

Esempio 2: il polinomio 2ab − b³ è uguale alla frazione algebrica $\frac{2ab-b^3}{1}$.]

5. (B) Una frazione algebrica è una funzione rispetto a che cosa?

[Rispetto alle variabili contenute nei suoi polinomi perché assume valori diversi a seconda dei valori assegnati a tali variabili.

Esempio: la frazione algebrica $\frac{x+3}{x}$ assume valore $\frac{7}{4}$ se assegniamo alla x valore 4; assume valore $\frac{8}{5}$ se assegniamo alla x valore 5; assume valore $\frac{10}{7}$ se assegniamo alla x valore 7…]

3. FRAZIONI ALGEBRICHE DEFINITE

6. (A) Una frazione algebrica è sempre definita (cioè ha sempre un significato)?

[No, solo quando il denominatore è diverso da zero.

Esempio: $\frac{x+3}{x}$ con x = 0 non è definita, cioè è priva di significato. Questo ovviamente perché una frazione algebrica rappresenta un quoziente e il denominatore di un quoziente non può mai essere uguale a 0.]

7. (A) Come si fa a stabilire per quali valori una frazione algebrica è definita e per quali non lo è?

[Si pone il denominatore uguale a zero e si risolve la relativa equazione: i valori ottenuti rendono la frazione algebrica priva di significato (per quei valori la frazione non è definita; per tutti gli altri lo è).

Esempio: per stabilire per quali valori $\frac{x}{x-2}$ è definita, occorre risolvere l’equazione $x-2=0$ (abbiamo posto il denominatore della frazione uguale a zero). Svolgiamo i calcoli e troviamo la soluzione: $x-2=0$ → $x=+2$. Ne concludiamo che $\frac{x}{x-2}$ non è definita per $x=+2$.]

8. (C) Per quali valori di x la frazione algebrica $\frac{x+5}{x+3}$ non è definita (non ha significato)?

[Solo per x = −3, perché se si attribuisce alla x il valore −3, allora la frazione algebrica diventa: $\frac{2}{0}$, che non ha significato perché il denominatore è uguale a 0.]

9. (A) Quando il denominatore di una frazione algebrica è costituito da due o più fattori, come si fa a stabilire per quali valori la frazione algebrica è definita e per quali non lo è?

[Si pone uguale a zero ciascuno di quei fattori e si risolve ciascuna delle equazioni che ne derivano: i valori che si ottengono rendono la frazione algebrica priva di significato; per tutti gli altri valori la frazione è definita.

Esempio: per stabilire per quali valori $\frac{1}{(x-4)(x+7)}$ è definita, si pone $(x-4)=0$ e $(x+7)=0$ e si risolvono le equazioni. Risolviamo la prima: $(x-4)=0$ → $x=4$. Risolviamo la seconda: $(x+7)=0$ → $x=-7$. Se ne deduce che la frazione algebrica $\frac{1}{(x-4)(x+7)}$ è definita per tutti i valori di x tranne che per $x=4$ e $x=-7$ (per tali valori la frazione in esame non ha significato).]

10. (C) Per quali valori di x la frazione algebrica $\frac{x+5}{x(x-3)}$ non è definita (non ha significato)?

[Per x = +3 e per x = 0, perché in entrambi i casi il denominatore sarebbe uguale a 0: nel caso x = +3 la nostra frazione algebrica diventa $\frac{8}{0}$; nel caso x = 0 la nostra frazione algebrica diventa $\frac{5}{0}$.]

4. IL DOMINIO DELLE FRAZIONI ALGEBRICHE

11. (A) Come si chiama l’insieme di tutti i possibili valori delle variabili di una frazione algebrica per cui essa è definita (ha significato)?

[Dominio (o insieme di definizione o insieme di esistenza).]

12. (A) Come si indica il dominio di una frazione algebrica?

[Con ℝ − {…}, dove ℝ indica l’insieme dei numeri reali e all’interno della parentesi vanno messi, separati da una virgola, i valori delle variabili che rendono la frazione algebrica priva di significato.

Esempio 1: il dominio di $\frac{x+5}{x+3}$ è ℝ − {−3}.

Esempio 2: il dominio di $\frac{x+5}{x(x-3)}$ è ℝ − {+3, 0}.]

13. (A) Come si possono indicare i valori per i quali una frazione algebrica non è definita (non ha significato) senza indicare esplicitamente il dominio di tale frazione algebrica?

[Possiamo indicare le condizioni di esistenza: C.E.]

14. (A) Che cosa sono le condizioni di esistenza (C.E.) di una frazione algebrica?

[Le condizioni che la frazione algebrica deve soddisfare affinché il denominatore non sia nullo e quindi la frazione algebrica priva di significato. Si indicano con x ≠…, dove al posto dei puntini si mettono i valori per i quali la frazione algebrica diventa priva di significato.

Esempio: le condizioni di esistenza (C.E.) di $\frac{x+5}{x(x-3)}$ sono x ≠ −3 ˄ x ≠ 0, dove ˄ è il simbolo logico della congiunzione.]

15. (C) Quali sono le condizioni d’esistenza (C.E.) di $\frac{x+4}{x(x^3-8)}$?

[Sono x ≠ 2 ˄ x ≠ 0. Infatti, se x fosse uguale a 2 o a 0, il denominatore sarebbe 0 e quindi la frazione algebrica non avrebbe significato.]