12.2 FRAZIONI ALGEBRICHE EQUIVALENTI

1. (A) Quand’è che due frazioni algebriche sono equivalenti?

[Quando i loro prodotti in croce sono uguali. In simboli: $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\leftrightarrow AD=BC$. Come si può notare, la definizione di frazioni algebriche equivalenti è analoga alla definizione di due frazioni numeriche equivalenti.

Esempio: $\frac{a^2-b}{2a}=\frac{a^{2}b-b^2}{2ab}$; che le due equazioni siano equivalenti, lo si può constatare dei prodotti incrociati: $(a^2-b)\cdot \left(2ab\right)=2a^{3}b-2a{b}^2$ e $2a\cdot (a^{2}b-b^2)=2a^{3}b-2a{b}^2$.]

2. (C) Quale delle seguenti coppie di frazioni algebriche sono equivalenti $\frac{a-b}{a^2}$ e $\frac{-b^2}{a+b}$ oppure $\frac{a-b}{a}$ e $\frac{ab-b^2}{ab}$ ?

[Entrambe. Infatti i prodotti incrociati che si ottengono dalla prima coppia sono: $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$ e $\left(a^2\right)(-b^2)=a^2-b^2$; i prodotti incrociati che si ottengono dalla seconda coppia sono $(a-b)\left(ab\right)=a^{2}b-a{b}^2$ e $a(ab-b^2)=a^{2}b-a{b}^2$.]

3. (B) Data una frazione algebrica, come si fa a ottenere una frazione algebrica ad essa equivalente?

[Si moltiplica o si divide numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, diverso dal polinomio nullo. È la stessa procedura che si usa per ottenere frazioni numeriche equivalenti ad altre frazioni numeriche.

Esempio: se moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della seguente frazione algebrica $\frac{a-b}{ab}$ per uno stesso polinomio, per esempio a + b, otteniamo una frazione algebrica equivalente:

$$\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{a^2+ab-ab-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$$

con C.E. a ≠ 0; b ≠ 0; a + b ≠ 0.]

4. (B) Come si chiama la proprietà in base alla quale moltiplicando o dividendo il numeratore e denominatore di una frazione algebrica per uno stesso polinomio (diverso dal polinomio nullo) si ottiene una frazione algebrica equivalente?

[Proprietà invariantiva.]