12.6 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

1. MOLTIPLICAZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

1. (A) Com’è il prodotto di due o più frazioni algebriche?

[È una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. In simboli:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$$

Prima di effettuare il prodotto dei numeratori e dei denominatori occorre scomporli in fattori irriducibili.

Esempio:

$$\frac{a+2}{ab-2a}\cdot \frac{b-2}{a^2+4a+4}=\frac{a+2}{a(b-2)}\cdot \frac{b-2}{{(a+2)}^2}=\frac{a+2}{a(b-2)}\cdot \frac{b-2}{{(a+2)}^2}=\frac{1}{a(a+2)}=\frac{1}{a^2+2a}$$.]

2. (C) Qual è il prodotto delle seguenti frazioni algebriche: $\frac{a^2-ab}{4-a^2}\cdot \frac{2+a}{ab}$?

[$\frac{a-b}{2b-ab}$. Vediamo tutti i passaggi:

$$\frac{a^2-ab}{4-a^2}\cdot \frac{2+a}{ab}=\frac{a(a-b)}{(2-a)(2+a)}\cdot \frac{2+a}{ab}=\frac{a(a-b)}{(2-a)(2+a)}\cdot \frac{2+a}{ab}=\frac{a(a-b)}{(2-a)}\cdot \frac{1}{ab}=\frac{a-b}{b(2-a)}=\frac{a-b}{2b-ab}$$.]

2. LA RECIPROCA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

3. (A) Che cos’è la reciproca (o inversa) di una frazione algebrica?

[È una frazione algebrica che, se viene moltiplicata per quella originaria, dà come risultato 1. In simboli: la reciproca di $\frac{A}{B}$ è $\frac{B}{A}$ e infatti:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{B}{A}=1$$.

La reciproca (o inversa) della frazione algebrica si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.]

4. (C) Qual è la reciproca (o inversa) della frazione algebrica $\frac{a-b}{a^{2}b}$?

[$\frac{a^{2}b}{a-b}$. Abbiamo scambiato il numeratore con il denominatore. E infatti, in accordo con la definizione che abbiamo dato di frazione algebrica inversa:

$$\frac{a-b}{a^{2}b}\cdot \frac{a^{2}b}{a-b}=1$$.]

3. DIVISIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

5. (A) Come si ottiene il quoziente di due frazioni algebriche?

[Moltiplicando la prima frazione algebrica per la reciproca della seconda. In simboli:

$$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}$$.

Esempio:

$$\frac{5a}{2b}:\frac{15ac}{b^2}=\frac{5a}{2b}\cdot \frac{b^2}{15ac}=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{3c}=\frac{b}{6c}$$.]

6. (C) Qual è il quoziente della divisione tra le seguenti frazioni algebriche: $\frac{a^2-25}{a^{2}b-a{b}^2}:\frac{a-5}{ab}$?

[$\frac{a+5}{a-b}$. Vediamo tutti i passaggi:

$$\frac{a^2-25}{a^{2}b-a{b}^2}:\frac{a-5}{ab}=\frac{a^2-25}{a^{2}b-a{b}^2}\cdot \frac{ab}{a-5}=\frac{(a+5)(a-5)}{ab(a-b)}\cdot \frac{ab}{a-5}=\frac{(a+5)(a-5)}{ab(a-b)}\cdot \frac{ab}{a-5}=\frac{a+5}{a-b}$$.]